Expressies uitrekenen en de rekenvolgorde

4 + 3 · 7 van links naar rechts geeft 49, eerst vermenigvuldigen 25. Slechts één waarde kan juist zijn, dus spreek je de volgorde vooraf af.

Van links naar rechts geeft 49

OpenStax opent het onderdeel over rekenvolgorde met precies deze uitdrukking, 4 + 3 · 7, en twee groepen leerlingen. De eerste groep leest zoals we een zin lezen: 4 + 3 is 7 en 7 · 7 is 49. De tweede groep vermenigvuldigt eerst: 3 · 7 is 21 en 4 + 21 is 25. Beide groepen rekenen correct, dus het verschil zit niet in het optellen of vermenigvuldigen zelf. Het gaat om welke bewerking eerst komt. Als dezelfde uitdrukking twee verschillende getallen zou kunnen betekenen, zou niemand een formule voor iemand anders kunnen schrijven. Daarom spraken wiskundigen één volgorde af en is het antwoord 25.

De gewoonte om van links naar rechts te werken is niet dwaas. Ze is juist bij een rij optellingen en aftrekkingen, en ook bij een rij vermenigvuldigingen en delingen. Het gaat mis wanneer je beide soorten mengt, omdat vermenigvuldigen sterker bindt dan optellen. Lees 4 + 3 · 7 als 4 plus drie keer zeven: 3 · 7 is één blok, één hoeveelheid, en de 4 wordt daarbij opgeteld. Zo gelezen is 25 niet langer alleen de uitkomst van een regel die je moet onthouden, maar volgt het antwoord uit de betekenis van de uitdrukking.

De afgesproken volgorde stap voor stap

1. Haakjes en andere groeperingstekens, binnenste eerst.
2. Machten.
3. Vermenigvuldigen en delen, van links naar rechts.
4. Optellen en aftrekken, van links naar rechts.

In Engelstalige lessen onthoudt men de volgorde met PEMDAS, via het onzinnige zinnetje dat OpenStax aanhaalt: ‘Please Excuse My Dear Aunt Sally’. De koppels zijn belangrijker dan de volgorde van de letters. ‘My Dear’ hoort bij elkaar omdat vermenigvuldigen en delen dezelfde voorrang hebben: je doet wat vanaf links het eerst komt. Dus 18 ÷ 9 · 2 is 2 · 2 = 4 en niet 18 ÷ 18 = 1. Hetzelfde geldt voor ‘Aunt Sally’: 10 − 3 + 2 is 9 en niet 5. Een langer voorbeeld uit hetzelfde boek is 18 ÷ 6 + 4(5 − 2). De haakjes geven 3, daarna is 18 ÷ 6 gelijk aan 3 en 4 · 3 gelijk aan 12, en 3 + 12 = 15.

Haakjes binnen haakjes werk je van binnen naar buiten uit. Begin in 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)] met 4 − 2 = 2. Binnen de vierkante haakjes staat dan 6 − 3 · 2 = 0 en drie keer nul is 0. De macht 2³ is 8, dus het geheel is 5 + 8 + 0 = 13. Schrijf elke stap op een eigen regel onder de vorige. OpenStax raadt deze manier van naar beneden werken aan. Zo vind je het gemakkelijkst waar een fout is ontstaan, omdat elke regel een volledige, kortere uitdrukking is met dezelfde waarde als de regel erboven.

Een getal op de plek van de letter

De waarde van een uitdrukking bepalen betekent uitrekenen wat ze waard is wanneer je de variabele door een gegeven getal vervangt. Je vult in en vereenvoudigt daarna volgens de rekenvolgorde. Voor 9x − 2 met x = 5 wordt de uitdrukking 9 · 5 − 2 = 45 − 2 = 43. Met x = 1 wordt ze 9 − 2 = 7. Dezelfde uitdrukking geeft verschillende waarden, omdat haar waarde afhangt van het ingevulde getal. Schrijf bij het invullen het vermenigvuldigingsteken er weer bij. Bij x = 4 is 3x gelijk aan 3 · 4 = 12. Wie de 4 direct achter de 3 schrijft, ziet 34 staan, en dat is een ander getal.

Vul negatieve getallen tussen haakjes in. Als x = −3, dan is x² gelijk aan (−3)² = (−3) · (−3) = 9. De uitdrukking −x² is anders: je berekent eerst de macht en past daarna het minteken toe. Bij x = −3 is de waarde dus −9 en bij x = 3 ook −9. Haakjes beschermen ook bij aftrekken: 5 − x bij x = −2 is 5 − (−2) = 7. Een spreadsheet is handig om dezelfde uitdrukking voor veel waarden tegelijk uit te rekenen. In het spreadsheetpracticum hieronder ga je precies dat doen.