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Accueil›Algèbre›Expressions

Calculer des expressions et respecter les priorités

Calcule 4 + 3 · 7 de gauche à droite : tu obtiens 49. Multiplie d'abord : tu obtiens 25. Une seule valeur convient, donc on fixe l'ordre à l'avance.

Le réflexe de gauche à droite donne 49

OpenStax ouvre les priorités opératoires avec exactement 4 + 3 · 7 et deux groupes d'élèves. Le premier lit comme une phrase : 4 + 3 fait 7, puis 7 · 7 fait 49. Le second multiplie d'abord : 3 · 7 fait 21, puis 4 + 21 fait 25. Les deux groupes calculent correctement ; le désaccord porte sur l'ordre, pas sur la façon d'additionner ou de multiplier. Si une même expression pouvait désigner deux nombres, personne ne pourrait écrire une formule utilisable par d'autres. Les mathématiciens ont donc fixé un ordre, et la réponse est 25.

Le réflexe de gauche à droite n'est pas absurde. Il convient à une suite d'additions et soustractions, ou de multiplications et divisions. Il échoue quand on mélange les deux, car multiplier est prioritaire sur additionner. Lis 4 + 3 · 7 comme 4 plus trois sept : 3 · 7 forme un bloc, une quantité unique à laquelle on ajoute 4. Ainsi, 25 cesse de paraître une règle à mémoriser et devient le sens de l'expression.

L'ordre convenu, étape par étape

  1. Parenthèses et autres regroupements, des plus intérieurs vers les extérieurs.
  2. Puissances.
  3. Multiplications et divisions, de gauche à droite.
  4. Additions et soustractions, de gauche à droite.

Dans les classes anglophones, on retient PEMDAS grâce à la phrase amusante citée par OpenStax : « Please Excuse My Dear Aunt Sally ». Les paires comptent plus que l'ordre des lettres. « My Dear » reste groupé car multiplication et division ont la même priorité : fais celle rencontrée d'abord à gauche. Ainsi, 18 ÷ 9 · 2 vaut 2 · 2 = 4, pas 18 ÷ 18 = 1. Même chose pour « Aunt Sally » : 10 − 3 + 2 vaut 9, pas 5. Exemple plus long du livre : 18 ÷ 6 + 4(5 − 2). La parenthèse donne 3, puis 18 ÷ 6 vaut 3 et 4 · 3 vaut 12 ; enfin 3 + 12 = 15.

Les regroupements imbriqués se calculent de l'intérieur vers l'extérieur. Dans 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)], commence par 4 − 2 = 2. Le crochet contient alors 6 − 3 · 2 = 0, et trois fois zéro vaut 0. La puissance 2³ vaut 8, donc le tout fait 5 + 8 + 0 = 13. Écris chaque étape sous la précédente. OpenStax recommande cette progression verticale : elle permet de repérer les erreurs, car chaque ligne est une expression complète plus courte, de même valeur que celle au-dessus.

Mettre un nombre à la place de la lettre

Évaluer une expression, c'est trouver sa valeur quand on remplace la variable par un nombre donné. Substitue, puis simplifie selon les priorités. Pour 9x − 2 avec x = 5, on obtient 9 · 5 − 2 = 45 − 2 = 43. Avec x = 1, on obtient 9 − 2 = 7. Même expression, valeurs différentes : tout dépend du nombre substitué. Réécris le signe de multiplication au remplacement. Avec x = 4, 3x vaut 3 · 4 = 12 ; écrire directement le 4 après le 3 donne 34, un autre nombre.

Les négatifs se substituent entre parenthèses. Si x = −3, x² vaut (−3)² = (−3) · (−3) = 9. −x² est différent : la puissance vient avant le moins ; pour x = −3, cela donne −9, et pour x = 3 aussi. Les parenthèses protègent également les soustractions : 5 − x avec x = −2 devient 5 − (−2) = 7. Un tableur permet d'évaluer une expression pour plusieurs valeurs à la fois ; c'est ce que tu feras ci-dessous.

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Les tableurs utilisent * pour multiplier et ^ pour une puissance : 9x − 2 s'écrit =9*A2-2. Recopie B2 et C2 vers le bas et compare à tes calculs. Saisis ensuite =-A2^2 en D2 : tu vois 9 pour x = −3, car Excel et Google Sheets appliquent le moins avant la puissance. Remplace par =-(A2^2) pour retrouver la valeur algébrique, −9.
La liste des priorités d'Excel chez Microsoft place la négation, comme −1, avant les puissances. Voilà pourquoi =-3^2 donne 9 dans un tableur, mais −3² vaut −9 sur papier. Utilise des parenthèses quand un moins et une puissance se rencontrent.
  1. Simplifie 4 + 3 · 7.
  2. Simplifie (4 + 3) · 7.
  3. Simplifie 18 ÷ 9 · 2.
  4. Simplifie 18 ÷ 6 + 4(5 − 2).
  5. Simplifie 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)].
  6. Simplifie 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5².
  7. Évalue 9x − 2 pour x = 5.
  8. Évalue 3x + 7 pour x = 4.
  9. Évalue x² pour x = −3.
  10. Évalue −x² pour x = 3.
  11. Évalue 5 − x pour x = −2.
  12. Quelle formule de tableur calcule 9x − 2 quand x est en A2 ?
    • =9*A2-2
    • =9A2-2
    • =9*(A2-2)
    • 9*A2-2
Erreurs fréquentes
  • « 2 + 3 · 4 = 20, car on calcule de gauche à droite. » La multiplication précède l'addition : 3 · 4 = 12 et 2 + 12 = 14. De gauche à droite départage seulement les opérations de même priorité.
  • « La multiplication précède toujours la division, donc 18 ÷ 9 · 2 = 18 ÷ 18 = 1. » Elles ont la même priorité. De gauche à droite : 18 ÷ 9 = 2, puis 2 · 2 = 4.
  • « Pour x = −3, x² vaut −9. » Substitue avec des parenthèses : (−3)² = 9. La valeur −9 correspond à −x², où la puissance précède le signe moins.
Note du professeurDans le programme national coréen de 2022, les priorités entre les quatre opérations relèvent des 5e et 6e années du primaire. Les notes demandent de se concentrer sur l'ordre et d'éviter les calculs trop complexes. Les puissances arrivent au collège, où l'objectif sur les lettres se termine par la valeur d'une expression. Le programme liste substitution et autorise « valeur d'une expression » en classe. Pour les élèves pressés, fais écrire deux fois la même expression, avec les priorités puis de gauche à droite, et comparer. La plupart des difficultés avec les négatifs disparaissent quand les parenthèses deviennent un réflexe de substitution.
L'essentiel
  • Ordre : parenthèses, puissances, multiplications et divisions de gauche à droite, additions et soustractions de gauche à droite.
  • Pour évaluer, remplace la lettre par le nombre et simplifie.
  • Mets les négatifs entre parenthèses : (−3)² = 9, mais −3² = −9.
  • Les tableurs utilisent * et ^ et appliquent un moins initial avant une puissance.
Sources de ce cours (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

Consulté le: 2026-10-19