Letras para números: escrevendo expressões a partir de palavras

Em 1591, François Viète publicou um livro em que letras representavam números: vogais para os desconhecidos e consoantes para os conhecidos.

ContextoFrançois Viète era filho de advogado e também estudou direito. A biografia MacTutor da Universidade de St Andrews cita sua descrição de si mesmo: não se dizia matemático de profissão, mas gostava de matemática sempre que tinha tempo livre. Era tão habilidoso que Henrique IV da França recorreu a ele para ler cartas cifradas enviadas ao inimigo, Filipe II da Espanha. Viète levou um tempo, mas quebrou o código. Em 1591 publicou em Tours In artem analyticam isagoge, que o MacTutor chama de primeira notação algébrica sistemática. Letras representavam quantidades conhecidas e desconhecidas: vogais para incógnitas e consoantes para as conhecidas. O hábito atual de usar as primeiras letras, como a, b, c, para valores conhecidos e as últimas, como x, para incógnitas veio depois, com La Géométrie de René Descartes, publicada em Leiden em 1637 como apêndice do Discurso do método.

Uma letra pode representar todas as idades de uma vez

A OpenStax começa o capítulo de álgebra com duas pessoas que fazem aniversário no mesmo dia. Greg tem 20 anos e Alex, 23 neste ano. Quando Greg tinha 12, Alex tinha 15; quando Greg tiver 35, Alex terá 38. Qualquer que seja a idade de Greg, Alex tem 3 anos a mais. As idades mudam, então são variáveis. A diferença de 3 nunca muda, então é constante. Chame a idade de Greg de g e descreva todas as linhas da tabela com uma expressão: g + 3. Uma variável é uma letra que representa um número ou quantidade cujo valor pode mudar. Costumam-se usar x, y, a, b e c, mas qualquer letra serve se você disser o que significa.

Uma expressão é um número, uma variável ou uma combinação de números, variáveis e sinais de operação: 3 + 5, n − 1, 6 · 7 e g + 3 são expressões. A OpenStax compara uma expressão a uma frase em inglês, como “a soma de três e cinco”, sem verbo. Uma equação une duas expressões com um sinal de igualdade, que funciona como o verbo que transforma a frase numa afirmação: 3 + 5 = 8 diz algo verdadeiro ou falso. Ao passar de palavras para álgebra, confira primeiro qual das duas foi pedida. “Cinco a mais que n” é uma frase, então a resposta é a expressão n + 5. “Cinco a mais que n é 12” é uma afirmação e vira a equação n + 5 = 12.

Formas abreviadas de multiplicação e divisão

Na álgebra, evita-se a cruz de multiplicação porque × parece a letra x. A OpenStax pergunta: 3xy significa 3 × y ou 3 · x · y? Use um ponto elevado ou parênteses, ou apenas escreva os fatores juntos. O número vem antes das letras: x · 3 vira 3x, e b · 5 · a vira 5ab, geralmente com letras em ordem alfabética. O fator 1 não se escreve: 1 · a é a, e −1 · a é −a. Fatores repetidos viram potência: a · a · a é a³, lido “a ao cubo”. A divisão costuma ser escrita como fração: a ÷ 4 vira a sobre 4, também digitado a/4. Nada disso muda o valor, apenas encurta as expressões e facilita compará-las.

Forma completa	Forma abreviada
x · 3	3x
b · 5 · a	5ab
1 · a	a
(−1) · a	−a
a · a · a	a³
a ÷ 4	a/4 (a sobre 4)
(x + y) · 2	2(x + y)

Transformando palavras numa expressão

Muitas frases nomeiam uma operação e depois dois números. “A soma de a e b” é a + b, “a diferença entre 20 e 4” é 20 − 4, “o produto de 6 e n” é 6n e “o quociente de x por 3” é x/3. Procure as palavras “de” e “e” para encontrar os dois números. Duas frases exigem cuidado, porque invertem a ordem em que são lidas. “Oito a mais que y” significa somar 8 a y: y + 8. “Sete a menos que 9z” significa subtrair 7 de 9z: 9z − 7, não 7 − 9z. Um teste numérico tira a dúvida: sete a menos que 10 é 3, e só 10 − 7 dá 3.

Descrições longas funcionam igual depois que você nomeia a incógnita. A OpenStax descreve uma janela cuja altura é 6 polegadas menor que a largura. Seja w a largura; a altura é w − 6. Outro exemplo: a quantidade de moedas de dez centavos numa bolsa é 2 a menos que 5 vezes a quantidade de moedas de vinte e cinco centavos. Seja q a quantidade de moedas de vinte e cinco. Cinco vezes essa quantidade é 5q, e 2 a menos é 5q − 2. Compras funcionam igual. Se cada caderno custa $3 e uma caneta custa $2, n cadernos e uma caneta custam 3n + 2 dólares. Antes de começar, escreva uma frase curta explicando a letra. Não registrar seu significado é a causa mais comum de uma expressão que parece certa estar errada.

Uma expressão não tem sinal de igualdade; uma equação tem. y + 8 é expressão, y + 8 = 40 é equação. Se a questão pede “escreva uma expressão”, uma resposta com “=” responde a outra pergunta.

a soma de a e b	a + b
a diferença entre a e b	a − b
o produto de 6 e n	6n
o quociente de x por 3	x/3
oito a mais que y	y + 8
sete a menos que 9z	9z − 7
o dobro de n, mais 1	2n + 1
variável	uma letra para um valor que pode mudar
constante	um número cujo valor não muda

Oito a mais que y:
- y + 8
- 8y
- y − 8
- 8 − y
Sete a menos que 9z:
- 9z − 7
- 7 − 9z
- 9z + 7
- 63z
Escreva o produto de 6 e n de forma abreviada.
Escreva x · y · 3 de forma abreviada.
Escreva a · a · a como potência.
Como se costuma escrever a ÷ 4 na álgebra?
- a/4
- 4/a
- 4a
- a − 4
Qual é uma equação?
- y + 8 = 40
- y + 8
- 4 · 2 + 1
- x ÷ 25
Alex tem 3 anos a mais que Greg, cuja idade é g. A idade de Alex é:
- g + 3
- g − 3
- 3g
- g/3
Cada caderno custa $3 e uma caneta custa $2. Escreva o custo em dólares de n cadernos e uma caneta.
A quantidade de moedas de dez centavos é 2 a menos que 5 vezes a quantidade de moedas de vinte e cinco centavos, q. A quantidade de moedas de dez centavos é:
- 5q − 2
- 2 − 5q
- 5(q − 2)
- 5q + 2
Qual é a forma usual de escrever b · 5 · a?
- 5ab
- b5a
- ab5
- 5 + a + b

Erros comuns

“Sete a menos que x é 7 − x.” A frase parte de x e tira 7: x − 7. Substitua x = 10. Sete a menos que 10 é 3, e 7 − 10 é −3, então 7 − x dá o sinal errado.
“3x significa 3 + x.” Lado a lado significa multiplicação. 3x é 3 · x. Com x = 4, 3x é 12 e 3 + x é 7.
“1x e x3 são boas formas de escrever x e 3x.” Dão o valor certo, mas pelas convenções usuais omite-se o 1 e põe-se o número antes: x e 3x. Em provas e ao compartilhar contas, a forma padrão facilita a leitura.

Nota do professorNo currículo nacional coreano de 2022, as letras entram nos anos finais, do 1º ao 3º ano dessa etapa: pede-se escrever situações com letras, reconhecer sua utilidade e calcular o valor de uma expressão. As notas propõem comparar letras com números e linguagem cotidiana, buscando semelhanças e diferenças. Antes, do 5º ao 6º ano da escola primária, já se escrevem relações com quadrinhos e triângulos; passar do quadrinho à letra é uma boa ponte: primeiro □ + 3, depois a + 3. “A menos que” é onde mais se erra ao traduzir. Peça aos estudantes que testem cada tradução com um número antes de seguir.

Pontos-chave

Uma variável é uma letra para um número que pode mudar; uma constante não muda.
Uma expressão não tem sinal de igualdade; uma equação une duas expressões com =.
Formas abreviadas: 3x, 5ab, a para 1a, a³ para a · a · a, a/4 para a ÷ 4.
“Sete a menos que 9z” é 9z − 7. Teste as traduções com um número.

Fontes deste curso (10)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
"René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

Data de verificação: 2026-10-19