Termini, coefficienti e termini simili

Per qualsiasi numero inserito al posto di x, 3x + 5x risulta uguale a 8x. Con x = 7 si ha 21 + 35 = 56, e 8 · 7 = 56.

Verifica due espressioni prima di fidarti

Ecco un'affermazione da verificare invece di accettarla: 3x + 5x è la stessa espressione di 8x. «La stessa» ha un significato preciso. Due espressioni sono equivalenti quando danno lo stesso valore per ogni numero che inserisci. Verificare ogni numero è impossibile, ma provarne diversi è rapido e basta un solo fallimento per smentire un'affermazione. Il foglio qui sotto contiene già cinque valori di x, l'espressione 3x + 5x e un'ipotesi alternativa, 8x², che alcuni studenti scrivono perché pensano che sommando due termini in x si debba ottenere x al quadrato. Il tuo compito è la colonna C.

La tabella lo mostra con i numeri, e la ragione è altrettanto semplice a parole. 3x significa tre volte x e 5x significa cinque volte x, quindi insieme sono otto volte x, qualunque sia x. OpenStax usa le arance: 3 arance e altre 6 arance fanno 9 arance. L'elevamento al quadrato non avviene mai, perché nulla è stato moltiplicato per x una seconda volta. Con x = 1 l'alternativa 8x² coincide per caso, dato che 1² = 1. Con x = 2 dà 32 invece di 16, e con x = 7 dà 392 invece di 56. Basta una sola discordanza.

Dare un nome alle parti: termini e coefficienti

Un'espressione è costruita con dei termini. OpenStax definisce un termine come una costante o il prodotto di una costante per una o più variabili, quindi 7, y, 5x², 9a e 13xy sono tutti termini. Il numero che moltiplica le variabili è il coefficiente. In 9b + 15x² + a + 6 i termini sono 9b, 15x², a e 6, e i coefficienti dei termini con variabili sono 9, 15 e 1. Il coefficiente di a è 1 anche se nessuno lo scrive, perché a = 1 · a. Un termine senza variabile, come 6, è un termine costante. Quando un'espressione ha un segno meno, leggilo come la somma di un numero negativo: 5x − 3 è 5x + (−3), quindi i suoi termini sono 5x e −3.

Ogni termine ha anche un grado, cioè il numero di fattori variabili che contiene. 5x ha grado 1, 5x² ha grado 2 e la costante 6 ha grado 0. Il grado di un'espressione è il grado più alto tra i suoi termini, quindi 3x² − 5x + 1 ha grado 2. Un'espressione il cui grado più alto è 1, come 2x + 7, si chiama espressione lineare. Incontrerai espressioni lineari in ogni capitolo successivo, perché le equazioni lineari e i grafici a retta si costruiscono a partire da esse.

Termini simili: stesse lettere con gli stessi esponenti

I termini sono simili se hanno le stesse variabili con gli stessi esponenti, e tutti i termini costanti sono simili tra loro. Tra 5x, 7, n², 4, 3x e 9n², i termini simili si abbinano come 5x con 3x, n² con 9n² e 7 con 4. Per questa verifica i coefficienti non contano, contano soltanto le lettere e le loro potenze. 2x e 2x² non sono termini simili, e neppure x e xy. Le tessere qui sotto mostrano perché. Una tessera x² è un quadrato grande, una tessera x è una striscia lunga e una tessera 1 è un quadrato piccolo, e soltanto le tessere della stessa forma possono essere contate insieme.

Ridurre i termini simili

Per semplificare, somma i coefficienti dei termini simili e lascia invariate le lettere. In 3x + 7 + 4x + 5, avvicina i termini simili: l'addizione lo permette perché l'ordine non cambia una somma: 3x + 4x + 7 + 5 = 7x + 12. I coefficienti negativi funzionano allo stesso modo con la sottrazione. OpenStax semplifica 7x² + 8x − x² − 4x in 6x² + 4x e si ferma lì, perché 6x² e 4x non sono termini simili. Due espressioni si possono combinare allo stesso modo: (5x + 3) + (2x − 4) è 7x − 1. Un segno meno davanti a una parentesi cambia il segno di ogni termine al suo interno, quindi (5x + 3) − (2x − 4) è 5x + 3 − 2x + 4 = 3x + 7. La prossima unità spiega perché usando la proprietà distributiva.