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Termos, coeficientes e termos semelhantes

Coloque qualquer número no lugar de x e 3x + 5x será igual a 8x. Com x = 7, dá 21 + 35 = 56, e 8 · 7 = 56.

Teste duas expressões antes de confiar numa regra

Esta é uma afirmação para testar, não aceitar sem conferir: 3x + 5x é a mesma expressão que 8x. “A mesma” tem um significado preciso. Duas expressões são equivalentes quando dão o mesmo valor para qualquer número substituído. Testar todos é impossível, mas testar vários é rápido, e um único erro basta para refutar a afirmação. Na planilha abaixo já há cinco valores de x, a expressão 3x + 5x e outra proposta, 8x², que alguns escrevem por achar que somar dois termos com x dá x ao quadrado. Sua tarefa é a coluna C.

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As colunas B e D já estão preenchidas. Escreva =8*A2 em C2 e preencha para baixo. C coincide com B em todas as linhas. D só coincide em x = 1 e também coincidiria em x = 0; por isso um acerto por sorte não prova nada.

A tabela mostra com números, e a explicação em palavras é igualmente simples. 3x são três grupos de x; 5x são cinco grupos de x; juntos são oito grupos de x, qualquer que seja x. A OpenStax usa laranjas: 3 laranjas mais 6 dão 9 laranjas. Nada é elevado ao quadrado porque não se multiplicou por x outra vez. Com x = 1, a proposta 8x² coincide por acaso, pois 1² = 1. Com x = 2, dá 32 em vez de 16; com x = 7, dá 392 em vez de 56. Uma diferença basta.

Nomeando as partes: termos e coeficientes

Uma expressão é formada por termos. A OpenStax define termo como uma constante ou o produto de uma constante por uma ou mais variáveis: 7, y, 5x², 9a e 13xy são termos. O número que multiplica as variáveis é o coeficiente. Em 9b + 15x² + a + 6, os termos são 9b, 15x², a e 6; os coeficientes dos termos com variáveis são 9, 15 e 1. O coeficiente de a é 1 mesmo sem aparecer, pois a = 1 · a. Um termo sem variável, como 6, é um termo constante. Se houver sinal menos, leia como adição de um negativo: 5x − 3 é 5x + (−3), então os termos são 5x e −3.

Cada termo tem um grau, a quantidade de fatores variáveis nele. 5x tem grau 1, 5x² tem grau 2 e a constante 6 tem grau 0. O grau da expressão é o maior entre seus termos: 3x² − 5x + 1 tem grau 2. Uma expressão de grau máximo 1, como 2x + 7, é linear. Você encontrará expressões lineares nos próximos capítulos, pois delas se formam equações do primeiro grau e gráficos de retas.

Termos semelhantes têm as mesmas letras com as mesmas potências

Termos são semelhantes quando têm as mesmas variáveis com os mesmos expoentes; todos os termos constantes são semelhantes entre si. Entre 5x, 7, n², 4, 3x e 9n², os pares são 5x com 3x, n² com 9n² e 7 com 4. Os coeficientes não importam para isso, só as letras e potências. 2x e 2x² não são semelhantes, nem x e xy. As peças abaixo mostram por quê. Uma peça x² é um quadrado grande; uma peça x é uma tira comprida; uma peça 1 é um quadrado pequeno. Só peças de mesma forma podem ser contadas juntas.

Peças algébricas. Quadrados azuis são x², tiras verdes são x e quadrados laranja são 1. Dois grupos, 2x² + 3x + 4 e x² + 2x + 1, são separados por forma: 3 quadrados, 5 tiras e 5 quadradinhos; a soma é 3x² + 5x + 5.

Reduzindo termos semelhantes

Para simplificar, some os coeficientes dos termos semelhantes e mantenha as letras. Em 3x + 7 + 4x + 5, agrupe os termos semelhantes; a adição permite mudar a ordem sem alterar a soma: 3x + 4x + 7 + 5 = 7x + 12. Coeficientes negativos funcionam igual com subtração. A OpenStax simplifica 7x² + 8x − x² − 4x para 6x² + 4x e para aí, pois 6x² e 4x não são semelhantes. Duas expressões se combinam do mesmo modo: (5x + 3) + (2x − 4) é 7x − 1. Um menos antes do parêntese troca o sinal de todos os termos internos: (5x + 3) − (2x − 4) é 5x + 3 − 2x + 4 = 3x + 7. Na próxima unidade, você verá por quê com a propriedade distributiva.

  1. Qual termo é semelhante a 5x?
    • −2x
    • 5x²
    • 5
    • 5y
  2. Qual é o coeficiente de a em 9b + 15x² + a + 6?
  3. Qual é o coeficiente de x em 4 − x?
  4. Qual é o grau de 3x² − 5x + 1?
  5. Simplifique 3x + 6x.
  6. Simplifique 3x + 7 + 4x + 5.
  7. Simplifique 7x² + 8x − x² − 4x.
  8. Simplifique 2a + 3b − a + 4b.
  9. Simplifique (5x + 3) − (2x − 4).
  10. Depois de reduzir os semelhantes em 4x² + 2x + 5x² + 6x + 40x + 8xy, quantos termos restam?
  11. 3x + 5x e 8x² valem 8 quando x = 1. São equivalentes?
    • Não: com x = 2 dão 16 e 32
    • Sim: coincidem em x = 1
    • Sim: ambos têm coeficiente 8
    • Só quando x é positivo
Erros comuns
  • “3x + 5 = 8x.” 3x e 5 não são semelhantes, então não se juntam num só termo. Com x = 2, o primeiro membro é 11 e 8x é 16. A expressão 3x + 5 já está simplificada ao máximo.
  • “2x + 3x = 5x² porque x e x dão x².” Somar conta os x, não os multiplica. 2x + 3x = 5x. Só x · x é x².
  • “5x − (2x − 4) = 3x − 4.” O menos antes do parêntese vale para os dois termos: −(2x − 4) = −2x + 4. A resposta é 3x + 4.
Nota do professorNo currículo nacional coreano de 2022, somar e subtrair expressões lineares é um objetivo dos anos finais que pede compreender o princípio, além de fazer a conta; um objetivo posterior estende isso aos polinômios. A lista de termos desta área inclui termo, termo constante, coeficiente, grau, expressão linear e termos semelhantes. As peças tornam o princípio visível, e uma planilha como a de cima faz o mesmo com números. Quem vê 8x² coincidir com 3x + 5x em x = 1 e falhar em x = 2 guarda a lição de que um único exemplo nunca prova que duas expressões são iguais. Peça que escolham seus próprios valores de teste e oriente-os a evitar 0 e 1.
Pontos-chave
  • Expressões equivalentes dão o mesmo valor para todo x; um contraexemplo mostra que diferem.
  • Termos se unem por + (leia − como somar um negativo). O número à frente é o coeficiente.
  • Termos semelhantes têm as mesmas letras com as mesmas potências; constantes são semelhantes entre si.
  • Reduza os semelhantes somando coeficientes: 3x + 7 + 4x + 5 = 7x + 12.
Fontes deste curso (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

Data de verificação: 2026-10-19