Términos, coeficientes y términos semejantes

Sustituye x por cualquier número y 3x + 5x dará lo mismo que 8x. Con x = 7, resulta 21 + 35 = 56, y 8 · 7 = 56.

Comprueba dos expresiones antes de confiar en una regla

Esta es una afirmación para comprobar, no para aceptar sin más: 3x + 5x es la misma expresión que 8x. «La misma» tiene un significado preciso. Dos expresiones son equivalentes si dan el mismo valor para cualquier número que sustituyas. Es imposible probar todos los números, pero probar varios es rápido y basta un fallo para refutar la afirmación. En la hoja de abajo ya hay cinco valores de x, la expresión 3x + 5x y otra propuesta, 8x², que algunos escriben porque creen que sumar dos términos con x da x al cuadrado. Tu tarea está en la columna C.

En la tabla se ve con números, y la explicación en palabras es igual de sencilla. 3x significa tres veces x y 5x significa cinco veces x: juntas son ocho veces x, sea cual sea x. OpenStax usa naranjas: 3 naranjas y otras 6 son 9 naranjas. No se eleva nada al cuadrado porque no se ha vuelto a multiplicar por x. Con x = 1, la propuesta 8x² coincide por casualidad, pues 1² = 1. Con x = 2 da 32 en lugar de 16, y con x = 7 da 392 en lugar de 56. Basta una discrepancia.

Los nombres de las partes: términos y coeficientes

Una expresión se compone de términos. OpenStax define término como una constante o el producto de una constante y una o más variables: 7, y, 5x², 9a y 13xy son términos. El número que multiplica a las variables es el coeficiente. En 9b + 15x² + a + 6, los términos son 9b, 15x², a y 6, y los coeficientes de los términos con variables son 9, 15 y 1. El coeficiente de a es 1 aunque no se escriba, pues a = 1 · a. Un término sin variable, como 6, es un término independiente. Cuando hay un signo menos, léelo como suma de un negativo: 5x − 3 es 5x + (−3), así que sus términos son 5x y −3.

Cada término tiene además un grado: la cantidad de factores variables que contiene. 5x tiene grado 1, 5x² tiene grado 2 y la constante 6 tiene grado 0. El grado de una expresión es el mayor de sus términos; por eso 3x² − 5x + 1 tiene grado 2. Una expresión cuyo grado máximo es 1, como 2x + 7, se llama lineal. Encontrarás expresiones lineales en los capítulos siguientes, porque a partir de ellas se construyen las ecuaciones lineales y las gráficas de rectas.

Los términos semejantes tienen las mismas letras con las mismas potencias

Dos términos son semejantes si tienen las mismas variables con los mismos exponentes; todos los términos constantes son semejantes entre sí. Entre 5x, 7, n², 4, 3x y 9n², las parejas semejantes son 5x con 3x, n² con 9n² y 7 con 4. Para decidirlo no importan los coeficientes, solo las letras y sus potencias. 2x y 2x² no son semejantes; tampoco x y xy. Las fichas de abajo permiten ver por qué. Una ficha x² es un cuadrado grande; una ficha x, una tira larga; una ficha 1, un cuadrado pequeño. Solo se pueden contar juntas las de la misma forma.

Reducir términos semejantes

Para simplificar, suma los coeficientes de los términos semejantes y conserva las letras. En 3x + 7 + 4x + 5, coloca juntos los semejantes; la suma lo permite porque el orden no altera el resultado: 3x + 4x + 7 + 5 = 7x + 12. Los coeficientes negativos funcionan igual con la resta. OpenStax simplifica 7x² + 8x − x² − 4x a 6x² + 4x y se detiene ahí porque 6x² y 4x no son semejantes. Puedes combinar dos expresiones del mismo modo: (5x + 3) + (2x − 4) es 7x − 1. Un signo menos delante del paréntesis cambia el signo de cada término interior: (5x + 3) − (2x − 4) es 5x + 3 − 2x + 4 = 3x + 7. En la siguiente unidad verás por qué, usando la propiedad distributiva.