La propiedad distributiva y el desarrollo de paréntesis

7 · 98 es difícil de calcular mentalmente hasta que lo escribes como 7 · (100 − 2) = 700 − 14 = 686.

Prueba antes de seguir: 7 · 98

Calcula 7 · 98 sin papel. Quienes lo hacen rápido no suelen multiplicar 98 por 7 cifra a cifra. Ven que a 98 le faltan 2 para 100, toman siete centenas, 700, y restan siete doses, 14. La respuesta es 686. OpenStax propone una versión con dinero: tres amigos van al cine y cada uno necesita $9.25, es decir, 9 dólares y 1 moneda de veinticinco centavos. Tres veces 9 dólares son $27; tres monedas de veinticinco son 75 centavos; el total es $27.75. En ambos casos se dividió una multiplicación en dos más fáciles y se sumaron o restaron los resultados.

Lo que acabas de usar se llama propiedad distributiva. Para cualesquiera números a, b y c, a(b + c) = ab + ac. El multiplicador exterior se reparte, o distribuye, entre todos los términos interiores. El dinero del cine se escribe 3(9 + 0.25) = 3 · 9 + 3 · 0.25 = 27 + 0.75 = 27.75, y el cálculo mental, 7(100 − 2) = 700 − 14. OpenStax presenta otras dos formas derivadas de la primera: a(b − c) = ab − ac y (b + c)a = ba + ca, pues el orden de los factores no altera el producto.

El rectángulo que permite demostrarlo

¿Por qué debe valer la regla para cualquier número y no solo para los dos casos probados? Dibújala. Un rectángulo de 3 unidades de alto y x + 4 de ancho tiene área 3(x + 4). Córtalo con una línea vertical donde termina la parte x. La pieza izquierda mide 3 por x, con área 3x; la derecha mide 3 por 4, con área 12. Cortarlo no cambia el espacio que ocupa, así que 3(x + 4) = 3x + 12. En la figura superior de abajo ves ese corte. El razonamiento vale para cualquier ancho x, justo lo que necesita una regla sobre expresiones.

Desarrollar con letras y signos menos

En álgebra, con la propiedad distributiva eliminas paréntesis que la jerarquía de operaciones no permite resolver. La regla indica calcular primero dentro, pero en 3(x + 4) no puedes hacer nada ahí porque x y 4 no son semejantes. Distribuye entonces: 3 · x + 3 · 4 = 3x + 12. Escribir así una expresión sin sus paréntesis se llama desarrollar. Otros ejemplos de OpenStax: 2(x − 3) = 2x − 6, 6(5y + 1) = 30y + 6 y 100(0.3 + 0.25q) = 30 + 25q. El multiplicador debe llegar a cada término. Algunos estudiantes dibujan una flechita desde el número exterior hasta cada término interior para recordarlo.

Los multiplicadores negativos llevan su signo a cada término. −2(x − 5) es (−2) · x + (−2) · (−5) = −2x + 10. Un signo menos solo delante de un paréntesis significa multiplicarlo por −1: −(x + 3) = −x − 3 y −(2x − 4) = −2x + 4, la regla que usaste antes sin demostrarla. Después de desarrollar, reduce términos semejantes como siempre: 4(x + 2) + 3x = 4x + 8 + 3x = 7x + 8. En el laboratorio de gráficas de abajo ves qué ocurre si el multiplicador no llega a un término: puedes comparar y = 2(x + 3), desarrollada correctamente como 2x + 6, con el error habitual 2x + 3.

Dos paréntesis: cada término con cada término

La misma idea sirve para multiplicar dos paréntesis. En (x + 2)(x + 3), toma x + 2 como multiplicador y distribúyelo sobre x + 3: (x + 2)x + (x + 2)3. Distribuye otra vez: x² + 2x + 3x + 6, y reduce: x² + 5x + 6. El rectángulo inferior muestra las cuatro piezas, una por cada pareja de un término del primer paréntesis con uno del segundo. Comprobación rápida: con x = 1, los paréntesis dan 3 · 4 = 12 y el desarrollo da 1 + 5 + 6 = 12. Dos paréntesis de dos términos siempre dan cuatro productos antes de reducir; cuéntalos si tienes dudas.