Sifat distributif dan menjabarkan tanda kurung

7 · 98 sulit dihitung di kepala sampai kamu menuliskannya sebagai 7 · (100 − 2) = 700 − 14 = 686.

Coba ini sebelum membaca lanjut: 7 · 98

Hitung 7 · 98 tanpa kertas. Kebanyakan orang yang bisa menghitungnya dengan cepat tidak mengalikan 98 dengan 7 digit demi digit. Mereka menyadari bahwa 98 kurang 2 dari 100, mengambil tujuh ratusan, yaitu 700, lalu mengurangi tujuh kali dua, yaitu 14. Jawabannya 686. OpenStax memberi versi uang dari trik yang sama. Tiga teman yang pergi ke bioskop masing-masing memerlukan $9.25, yaitu 9 dolar dan 1 koin seperempat. Tiga kali 9 dolar adalah $27, tiga koin seperempat adalah 75 sen, dan totalnya $27.75. Pada kedua kasus, satu perkalian dipecah menjadi dua perkalian yang lebih mudah, lalu hasilnya dijumlahkan atau dikurangkan.

Hal yang baru kamu gunakan memiliki nama, yaitu sifat distributif. Untuk sembarang bilangan a, b, dan c, a(b + c) = ab + ac. Pengali di luar kurung dibagikan, atau didistribusikan, kepada setiap suku di dalamnya. Uang bioskop dinyatakan sebagai 3(9 + 0.25) = 3 · 9 + 3 · 0.25 = 27 + 0.75 = 27.75, dan trik berhitung mental dinyatakan sebagai 7(100 − 2) = 700 − 14. OpenStax mencantumkan dua bentuk lain yang mengikuti bentuk pertama: a(b − c) = ab − ac, dan (b + c)a = ba + ca, karena urutan perkalian tidak memengaruhi hasil.

Persegi panjang sebagai bukti

Mengapa aturan itu berlaku untuk setiap bilangan, bukan hanya dua yang kita coba? Gambarkan. Persegi panjang setinggi 3 satuan dan selebar x + 4 satuan memiliki luas 3(x + 4). Potong dengan satu garis tegak pada tempat bagian x berakhir. Bagian kiri berukuran 3 kali x, dengan luas 3x, dan bagian kanan berukuran 3 kali 4, dengan luas 12. Memotong persegi panjang tidak mengubah luas yang dicakupnya, sehingga 3(x + 4) = 3x + 12. Gambar atas di bawah menunjukkan potongan ini. Penalarannya berlaku untuk sembarang lebar x, tepat seperti yang diperlukan aturan tentang bentuk aljabar.

Menjabarkan dengan huruf dan minus

Dalam aljabar, sifat distributif menghilangkan kurung yang tidak dapat diselesaikan dengan urutan operasi. Aturannya meminta bagian dalam kurung dikerjakan dahulu, tetapi pada 3(x + 4) tidak ada yang dapat dikerjakan di sana karena x dan 4 bukan suku sejenis. Jadi distribusikan: 3 · x + 3 · 4 = 3x + 12. Menulis bentuk tanpa kurung dengan cara ini disebut menjabarkan. Contoh lain dari OpenStax: 2(x − 3) = 2x − 6, 6(5y + 1) = 30y + 6, dan 100(0.3 + 0.25q) = 30 + 25q. Pengali harus mencapai setiap suku. Sebagian siswa menggambar panah kecil dari bilangan di luar ke setiap suku di dalam sebagai pengingat.

Pengali negatif membawa tandanya ke setiap suku. −2(x − 5) adalah (−2) · x + (−2) · (−5) = −2x + 10. Tanda minus saja di depan kurung berarti −1 dikali isi kurung, sehingga −(x + 3) = −x − 3 dan −(2x − 4) = −2x + 4. Itulah aturan yang digunakan unit sebelumnya tanpa pembuktian. Setelah menjabarkan, kumpulkan suku sejenis seperti biasa: 4(x + 2) + 3x = 4x + 8 + 3x = 7x + 8. Laboratorium grafik di bawah memperlihatkan akibat jika pengali melewatkan suatu suku. Grafiknya menampilkan y = 2(x + 3), yang dijabarkan dengan benar sebagai 2x + 6, di samping kesalahan umum 2x + 3.

Dua kurung: setiap suku kali setiap suku

Gagasan yang sama menangani perkalian dua bentuk dalam kurung. Pada (x + 2)(x + 3), anggap x + 2 sebagai pengali dan distribusikan ke x + 3: (x + 2)x + (x + 2)3. Distribusikan kembali: x² + 2x + 3x + 6, lalu kumpulkan: x² + 5x + 6. Persegi panjang bawah pada gambar menunjukkan empat bagian, masing-masing untuk setiap pasangan suku dari kurung pertama dengan suku dari kurung kedua. Pemeriksaan cepat: pada x = 1, bentuk dalam kurung memberikan 3 · 4 = 12 dan hasil penjabaran memberikan 1 + 5 + 6 = 12. Dua kurung yang masing-masing memiliki dua suku selalu menghasilkan empat hasil kali sebelum pengumpulan, jadi hitunglah jika kamu ragu.