분배법칙과 식의 전개

7 × 98은 암산하기 까다롭지만 7 × (100 − 2) = 700 − 14로 바꾸면 686이 바로 나옵니다.

먼저 풀어 보세요: 7 × 98

종이 없이 7 × 98을 계산해 보세요. 빨리 푸는 사람은 대개 98에 7을 자릿수마다 곱하지 않습니다. 98이 100보다 2 작다는 것을 보고 100의 7배인 700에서 2의 7배인 14를 뺍니다. 답은 686입니다. 돈 계산에서도 같은 방법을 씁니다. 떡볶이 1인분이 4,500원일 때 3인분 값은 4,000원의 3배인 12,000원과 500원의 3배인 1,500원을 더해 13,500원입니다. 두 경우 모두 곱셈 하나를 쉬운 곱셈 두 개로 나누고, 그 결과를 더하거나 뺐습니다.

방금 쓴 방법에는 분배법칙이라는 이름이 있습니다. 어떤 수 a, b, c에 대해서도 a × (b + c) = a × b + a × c가 성립합니다. 괄호 밖의 수가 괄호 안의 각 항에 나누어져(분배되어) 곱해진다는 뜻입니다. 떡볶이값은 3 × (4000 + 500) = 3 × 4000 + 3 × 500 = 12000 + 1500이고, 암산은 7 × (100 − 2) = 700 − 14입니다. 뺄셈에서도 a(b − c) = ab − ac가 되고, 곱하는 순서를 바꾸어 (b + c)a = ba + ca로 써도 됩니다.

직사각형 넓이로 보는 분배법칙

이 법칙이 우리가 시험한 두 수에서만이 아니라 모든 수에서 성립한다고 어떻게 알 수 있을까요? 그림을 그려 봅시다. 세로가 3, 가로가 x + 4인 직사각형의 넓이는 3(x + 4)입니다. 가로의 x가 끝나는 곳에 세로로 선을 하나 그으면 왼쪽은 3 × x로 넓이가 3x, 오른쪽은 3 × 4로 넓이가 12입니다. 직사각형을 잘라도 전체 넓이는 그대로이므로 3(x + 4) = 3x + 12입니다. 아래 그림의 위쪽이 바로 이 직사각형입니다. 가로 x가 얼마이든 똑같이 자를 수 있으니, 식에 대한 규칙으로 쓰기에 충분합니다.

위는 세로 3, 가로 x + 4인 직사각형을 3x와 12로 나눈 그림입니다. 아래는 세로 x + 2, 가로 x + 3인 직사각형을 x², 3x, 2x, 6의 네 조각으로 나눈 그림으로, 조각을 모두 더하면 x² + 5x + 6입니다.

문자와 음수가 있는 식의 전개

문자가 들어간 식에서는 분배법칙으로 괄호를 풉니다. 계산 순서대로라면 괄호 안을 먼저 계산해야 하지만 3(x + 4)의 x와 4는 동류항이 아니라 더 계산할 것이 없습니다. 그래서 분배합니다. 3 × x + 3 × 4 = 3x + 12입니다. 이렇게 괄호를 풀어 하나의 다항식으로 나타내는 것을 전개라고 합니다. 2(x − 3) = 2x − 6, 6(5y + 1) = 30y + 6, 100(0.3 + 0.25q) = 30 + 25q도 같은 방법입니다. 괄호 밖의 수는 안쪽 항 하나하나에 빠짐없이 곱해야 합니다. 괄호 밖의 수에서 안쪽 각 항으로 작은 화살표를 그려 두는 학생도 많습니다.

괄호 밖의 수가 음수이면 부호까지 함께 곱합니다. −2(x − 5) = (−2) × x + (−2) × (−5) = −2x + 10입니다. 괄호 앞에 −만 있으면 −1을 곱한 것과 같아서 −(x + 3) = −x − 3, −(2x − 4) = −2x + 4가 됩니다. 앞 단원에서 「괄호 앞의 −는 모든 항의 부호를 바꾼다」고 한 것은 이 때문입니다. 전개한 뒤에는 동류항을 정리합니다. 4(x + 2) + 3x = 4x + 8 + 3x = 7x + 8입니다. 아래 그래프 실험실은 분배를 빠뜨리면 어떻게 되는지 보여 줍니다. 바르게 전개한 y = 2(x + 3) = 2x + 6과, 흔히 하는 실수인 2x + 3을 함께 그립니다.

불러오는 중

끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

직선 1은 2(x + 3)을 바르게 전개한 2x + 6, 직선 2는 3에 2를 곱하지 않은 실수 2x + 3입니다. 두 직선은 평행해서 어떤 x에서도 두 식의 값이 같아지지 않습니다. 절편 2를 6까지 끌어올리면 두 직선이 하나로 겹치고, 그때 비로소 모든 x에서 값이 같아집니다.

괄호가 두 개일 때

괄호 두 개를 곱할 때도 같은 생각을 씁니다. (x + 2)(x + 3)에서 x + 2를 한 덩어리로 보고 x + 3에 분배하면 (x + 2)x + (x + 2) × 3입니다. 한 번 더 분배하면 x² + 2x + 3x + 6이고, 동류항을 정리하면 x² + 5x + 6입니다. 그림 아래쪽 직사각형의 네 조각이 앞 괄호의 항 하나와 뒤 괄호의 항 하나를 곱한 네 경우입니다. 확인: x = 1이면 괄호 꼴은 3 × 4 = 12, 전개한 식은 1 + 5 + 6 = 12입니다. 항이 두 개씩인 괄호 두 개를 곱하면 동류항을 정리하기 전에 언제나 곱이 네 개 나오니, 헷갈리면 개수부터 세어 보세요.

7 × (100 − 2)를 이용해 7 × 98을 계산하면?
한 개에 2,050원인 공책 3권의 값을 3 × (2000 + 50)으로 구하면?
3(x + 4)를 전개하세요.
2(x − 3)을 전개하세요.
6(5y + 1)을 전개하세요.
−2(x − 5)를 전개하세요.
−(x + 3)을 전개하세요.
4(x + 2) + 3x를 전개하고 간단히 하세요.
100(0.3 + 0.25q)를 전개하세요.
(x + 2)(x + 3)을 전개한 식은?
- x² + 5x + 6
- x² + 6
- x² + 6x + 5
- 2x + 5
x = 2일 때 3(x + 4)의 값은?
5(a − 4)와 같은 식은?
- 5a − 20
- 5a − 4
- a − 20
- 5a + 20

자주 하는 실수

「3(x + 4) = 3x + 4」 3은 4에도 곱해야 합니다. x = 0이면 3(x + 4)는 12인데 3x + 4는 4입니다. 그래프 실험실에서 두 식은 만나지 않는 평행선으로 나옵니다.
「−2(x − 5) = −2x − 10」 두 번째 곱은 (−2) × (−5)라서 양수입니다. 답은 −2x + 10입니다. x = 5를 넣으면 괄호가 0이라 값도 0이어야 하는데 −10 − 10은 0이 아닙니다.
「(x + 3)² = x² + 9」 (x + 3)²은 (x + 3)(x + 3)이므로 곱이 네 개 나와 x² + 3x + 3x + 9 = x² + 6x + 9입니다. x = 1이면 (x + 3)²은 16, x² + 9는 10입니다.

선생님 메모2022 개정 교육과정에서 분배법칙은 중학교 1~3학년군 「수와 연산」 영역의 용어로 먼저 나와 정수와 유리수의 계산에 쓰입니다. 그 뒤 「변화와 관계」 영역의 [9수02-10] 「(단항식)×(다항식)」의 곱셈에서 문자식으로 이어지고, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해에서 다시 쓰입니다. 「전개」는 이 영역의 용어 목록에 있고, 「전개식」은 교수·학습 상황에서 쓸 수 있는 말입니다. 직사각형의 넓이는 초등학교에서 이미 배웠으므로 넓이 모형은 새로 가르칠 것이 거의 없습니다. 3(x + 4)를 전개할 줄은 알아도 3x + 4가 왜 틀렸는지 설명하지 못하는 학생이 많습니다. 두 식에 x = 0을 넣어 보게 하면 차이 8이 바로 드러납니다.

핵심 정리

분배법칙: a(b + c) = ab + ac, a(b − c) = ab − ac.
괄호 밖의 수는 부호까지 안쪽 모든 항에 곱합니다: −2(x − 5) = −2x + 10.
괄호 앞의 −는 −1을 곱한 것입니다: −(x + 3) = −x − 3.
항이 두 개인 괄호 두 개를 곱하면 곱이 네 개입니다: (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6.

이 과정의 출처 (10)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
"René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

확인한 날: 2026-10-19