edubun
한국어
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
홈›대수›식

공통인수로 묶어 인수분해하기

12x + 18과 6(2x + 3)은 같은 식입니다. 그런데 x가 정수일 때 값이 늘 6의 배수라는 사실은 뒤의 식에서만 한눈에 보입니다.

연필 12자루와 공책 18권을 남김없이 나누기

문구점 주인이 연필 12자루와 공책 18권으로 똑같은 선물 꾸러미를 만들려고 합니다. 꾸러미끼리 내용이 같아야 하고 남는 물건이 없어야 합니다. 2꾸러미라면 연필 6자루와 공책 9권씩, 3꾸러미라면 4자루와 6권씩 넣을 수 있습니다. 가장 많이 만들 수 있는 것은 6꾸러미로, 한 꾸러미에 연필 2자루와 공책 3권씩입니다. 6은 12와 18을 모두 나누어떨어지게 하는 가장 큰 수, 다시 말해 최대공약수이기 때문입니다. 이것을 식으로 쓰면 12 + 18 = 6 × 2 + 6 × 3 = 6 × (2 + 3)입니다. 오른쪽에서 왼쪽으로 읽으면 앞 단원의 분배법칙이고, 왼쪽에서 오른쪽으로 읽으면 이 단원에서 할 인수분해입니다.

이번에는 연필이 12자루씩 든 상자 x개와 공책 18권이 있다고 합시다. 물건은 모두 12x + 18개이고, 6은 여전히 두 부분을 모두 나눕니다. 그래서 12x + 18 = 6 × 2x + 6 × 3 = 6(2x + 3)입니다. 그림은 넓이가 12x + 18인 직사각형입니다. 세로를 6으로 하면 가로는 2x + 3입니다. 세로를 2로 하고 가로를 6x + 9로 해도 틀린 식은 아니지만, 6x + 9 안에 아직 3이 남아 있습니다. 가장 큰 공통인수로 묶어야 더 묶어 낼 것이 남지 않습니다.

넓이가 12x + 18로 같은 두 직사각형을 같은 축척으로 그렸습니다. 위는 세로 6, 가로 2x + 3이고, 아래는 세로 2, 가로 6x + 9입니다. 아래쪽도 틀리지는 않았지만 6x + 9 = 3(2x + 3)이라 아직 덜 묶었습니다.

최대공약수 찾기

인수분해는 하나의 다항식을 두 개 이상의 인수의 곱으로 나타내는 일입니다. 모든 항에 공통으로 들어 있는 인수를 공통인수라고 하고, 그 가운데 가장 큰 것을 찾아 묶어 냅니다. 수는 소인수분해로 찾습니다. 54 = 2 × 3³이고 36 = 2² × 3²이므로 둘에 공통으로 들어 있는 것은 2 × 3² = 18입니다. 실제로 54 = 18 × 3, 36 = 18 × 2입니다. 문자도 하나의 인수로 보고 똑같이 셉니다. 27x³ = 3³ × x³, 18x⁴ = 2 × 3² × x⁴에서 공통인 것은 3²과 x³이므로 9x³입니다. 문자의 지수는 작은 쪽을 고르면 됩니다.

  1. 모든 항의 최대공약수(문자 포함)를 찾습니다.
  2. 각 항을 (최대공약수) × (나머지) 꼴로 씁니다.
  3. 분배법칙을 거꾸로 써서 최대공약수를 괄호 밖으로 묶어 냅니다.
  4. 괄호를 다시 전개해서 처음 식이 나오는지 확인합니다.

마지막 확인 단계를 건너뛰는 학생이 많은데, 다시 전개해 보는 데는 몇 초면 충분하고 거의 모든 실수가 여기서 잡힙니다. 4x + 12 = 4(x + 3)이고, 4 × x + 4 × 3을 계산하면 4x + 12가 다시 나옵니다. 12x − 60 = 12(x − 5)입니다. 5a + 5 = 5(a + 1)에서는 괄호 안의 1이 중요합니다. 1을 빠뜨리면 전개했을 때 5a만 나오고 5a + 5가 되지 않습니다. 항이 세 개면 세 항을 모두 나누는 수를 찾습니다. 4y² + 24y + 28 = 4(y² + 6y + 7)입니다. 문자도 함께 묶을 수 있어서 5x³ − 25x² = 5x²(x − 5), 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5)가 됩니다.

첫 항이 음수이면 음의 부호까지 함께 묶어 내는 경우가 많습니다. −8y − 24 = −8(y + 3)이고, 확인하면 −8 × y = −8y, −8 × 3 = −24입니다. 공통인수가 꼭 항 하나일 필요도 없습니다. 5q(q + 7) − 6(q + 7)에서는 두 부분에 괄호 q + 7이 통째로 들어 있으므로 한 덩어리로 묶어 (q + 7)(5q − 6)이 됩니다. 인수분해로 수의 성질을 설명할 수도 있습니다. 연속하는 세 정수 n, n + 1, n + 2의 합은 3n + 3 = 3(n + 1)이므로 언제나 3의 배수이고, 가운데 수의 3배입니다.

불러오는 중

끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

B열에는 12x + 18이 들어 있습니다. C2에 =6*(2*A2+3)을 쓰고 아래로 채우면 모든 줄이 B열과 같습니다. =6*(2*A2+18)처럼 일부러 틀리게 묶어 보고 확인이 실패하는 것을 본 뒤 바르게 고쳐 보세요.
4x + 124(x + 3)
12x − 6012(x − 5)
5a + 55(a + 1)
5x³ − 25x²5x²(x − 5)
−8y − 24−8(y + 3)
21x³ − 9x² + 15x3x(7x² − 3x + 5)
n + (n + 1) + (n + 2)3(n + 1)
  1. 54와 36의 최대공약수는?
  2. 12와 18의 최대공약수는?
  3. 4x + 12를 인수분해하세요.
  4. 12x − 60을 인수분해하세요.
  5. 5a + 5를 인수분해하세요.
  6. −8y − 24를 음의 부호까지 묶어 인수분해하세요.
  7. 5x³ − 25x²을 완전히 인수분해한 것은?
    • 5x²(x − 5)
    • 5x(x² − 5x)
    • 5(x³ − 5x²)
    • x²(5x − 25)
  8. 21x³ − 9x² + 15x를 완전히 인수분해한 것은?
    • 3x(7x² − 3x + 5)
    • 3(7x³ − 3x² + 5x)
    • x(21x² − 9x + 15)
    • 3x(7x² − 9x + 15)
  9. 5q(q + 7) − 6(q + 7)을 인수분해한 것은?
    • (q + 7)(5q − 6)
    • (q + 7)(5q + 6)
    • 5q − 6(q + 7)
    • (5q − 6)q + 7
  10. 인수분해를 이용해 37 × 13 + 37 × 7을 계산하면?
  11. 연속하는 세 정수의 합은 언제나 어떤 수의 배수일까요?
    • 3
    • 2
    • 6
    • 9
  12. x = 4일 때 6(2x + 3)의 값은?
자주 하는 실수
  • 「6x + 6 = 6(x)」 두 번째 항 6에서 6을 묶어 내면 아무것도 안 남는 것이 아니라 1이 남습니다. 6x + 6 = 6(x + 1)입니다. 다시 전개해 보면 6(x)는 6x뿐입니다.
  • 「12x + 18 = 2(6x + 9)로 인수분해가 끝났다.」 식은 맞지만 6x + 9에 공통인수 3이 남아 있습니다. 최대공약수 6으로 묶어 6(2x + 3)으로 써야 합니다.
  • 「−8y − 24 = −8(y − 3)」 전개해 보면 −8 × (−3) = +24라서 −24가 나오지 않습니다. −8로 묶으면 안쪽 부호가 모두 바뀌어 −8(y + 3)입니다.
선생님 메모2022 개정 교육과정에서 최대공약수는 인수분해보다 먼저 두 번 나옵니다. 초등학교 5~6학년군 [6수01-04]에서 약수, 공약수, 최대공약수를 배우고, 중학교 1~3학년군 [9수01-02]에서 소인수분해로 최대공약수를 구합니다. 인수분해는 [9수02-19] 「다항식의 곱셈과 인수분해를 할 수 있다」에 있고, 해설은 「다항식의 곱셈과 다항식의 인수분해의 역관계를 이해」하게 하라고 합니다. 용어 목록에는 「인수」와 「인수분해」가 있습니다. 고려 사항에 「수에 대한 사칙연산과 소인수분해가 다항식으로 확장될 수 있음을 인식하게 한다」는 내용이 있는데, 선물 꾸러미 문제가 이 연결을 구체적으로 보여 줍니다. 학생들이 가장 자주 건너뛰는 것이 마지막에 전개해서 확인하는 단계이니, 답안에 확인 줄까지 쓰게 하세요.
핵심 정리
  • 인수분해는 합을 곱의 꼴로 바꾸어 씁니다: ab + ac = a(b + c).
  • 모든 항의 최대공약수를 수와 문자까지 찾아 괄호 밖으로 묶습니다.
  • 전개해서 확인합니다: 5(a + 1)을 전개하면 5a + 5가 나옵니다.
  • 가장 큰 공통인수로 묶고, 첫 항이 음수이면 부호까지 묶습니다: −8y − 24 = −8(y + 3).
이 과정의 출처 (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

확인한 날: 2026-10-19