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共通因数でくくる

12x + 18と6(2x + 3)は同じ式です。後者だけが、どんな整数xでも値が6の倍数になることをひと目で示します。

ペン十二本、ノート十八冊を残さず分ける

文具店の店主が、ペン12本とノート18冊で、どの組も同じ内容で余りのない贈答セットを作ろうとしています。2組なら各組にペン6本とノート9冊、3組なら4本と6冊を入れられます。最大は6組で、各組はペン2本とノート3冊です。6が12と18の両方を割り切る最大の数だからです。記号では、和を積に変えたことになります。12 + 18 = 6 · 2 + 6 · 3 = 6(2 + 3)です。6組あり、各組に2 + 3個入っています。この式を右から左へ読むと、前の単元の分配法則です。左から右へ読むと因数分解です。

今度は注文が増えて、12本入りのペンがx箱と、ばらのノート18冊になったとします。合計は12x + 18で、同じ6が両方の部分を割り切るので、12x + 18 = 6 · 2x + 6 · 3 = 6(2x + 3)です。図は、これを面積12x + 18の長方形として示しています。高さを6にすると、幅は2x + 3です。高さを2にして幅を6x + 9にすることもできて、これも正しい式ですが、6x + 9の中にはまだ3という因数が残っています。最大の共通因数をくくり出せば、もうくくり出すものは残りません。

同じ面積12x + 18の2つの長方形を、同じ縮尺で描いています。上は高さ6、幅2x + 3、下は高さ2、幅6x + 9です。下も正しいのですが、6x + 9 = 3(2x + 3)なので、まだ完成していません。

最大の共通因数を探す

因数分解とは、積を因数に分け直すことです。2つ以上の式の最大公約数（GCF）、つまり最大の共通因数は、そのすべてに因数として含まれる最も大きい式です。数の場合は、素因数を書き出し、すべての数が共有するものを残します。OpenStaxの最初の例は54と36です。54 = 2 · 3 · 3 · 3、36 = 2 · 2 · 3 · 3なので、共有するのは2 · 3 · 3 = 18で、実際、54 = 18 · 3、36 = 18 · 2です。文字も、1つ1つの文字を因数と数えて同じように考えます。27x³ = 3 · 3 · 3 · x · x · xと18x⁴ = 2 · 3 · 3 · x · x · x · xが共有するのは3 · 3 · x · x · xなので、最大の共通因数は9x³です。

  1. すべての項の最大の共通因数を見つけます。
  2. 各項を、最大の共通因数と何かの積に書き直します。
  3. 分配法則を逆向きに使い、最大の共通因数を括弧の外に出します。
  4. 因数を掛けて元に戻し、確かめます。

これがOpenStaxの示す4つの手順で、最後は学習者が飛ばしがちです。掛けて戻すのは手早く、ほとんどの間違いを見つけられます。4x + 12 = 4(x + 3)で、4 · x + 4 · 3を計算すると4x + 12に戻ります。12x − 60 = 12(x − 5)です。5a + 5 = 5(a + 1)では1が大切です。これがないと、括弧を展開しても5a + 5ではなく5aになります。3つの項があるときは、最大の共通因数が3つすべてを割り切らなければならず、4y² + 24y + 28 = 4(y² + 6y + 7)のようになります。文字を含む場合は累乗も含められ、5x³ − 25x² = 5x²(x − 5)、21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5)のようになります。

最初の項が負のときは、マイナス記号も最大の共通因数の一部としてくくり出すのが普通です。OpenStaxは−8y − 24を−8(y + 3)と因数分解します。確かめると、−8 · y = −8y、−8 · 3 = −24です。共通因数は1つの項でなくてもかまいません。5q(q + 7) − 6(q + 7)では、2つの部分がどちらも括弧全体q + 7を含むので、これを1つのかたまりとしてくくり出し、(q + 7)(5q − 6)となります。因数分解は、整数についての事実の説明にもなります。連続する3つの整数n、n + 1、n + 2の和は3n + 3 = 3(n + 1)で、これは必ず3の倍数であり、真ん中の数の3倍でもあります。

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B列には12x + 18が入っています。C2に=6*(2*A2+3)と入れて下へコピーすると、どの行もBと一致します。=6*(2*A2+18)のような誤った因数分解も試して、確認が失敗するのを見てから、正しく直しましょう。
4x + 124(x + 3)
12x − 6012(x − 5)
5a + 55(a + 1)
5x³ − 25x²5x²(x − 5)
−8y − 24−8(y + 3)
21x³ − 9x² + 15x3x(7x² − 3x + 5)
n + (n + 1) + (n + 2)3(n + 1)
  1. 54と36の最大公約数は？
  2. 12と18の最大公約数は？
  3. 4x + 12を因数分解しましょう。
  4. 12x − 60を因数分解しましょう。
  5. 5a + 5を因数分解しましょう。
  6. −8y − 24を、マイナス記号もくくり出して因数分解しましょう。
  7. 5x³ − 25x²を完全に因数分解しましょう。
    • 5x²(x − 5)
    • 5x(x² − 5x)
    • 5(x³ − 5x²)
    • x²(5x − 25)
  8. 21x³ − 9x² + 15xを完全に因数分解しましょう。
    • 3x(7x² − 3x + 5)
    • 3(7x³ − 3x² + 5x)
    • x(21x² − 9x + 15)
    • 3x(7x² − 9x + 15)
  9. 5q(q + 7) − 6(q + 7)を因数分解しましょう。
    • (q + 7)(5q − 6)
    • (q + 7)(5q + 6)
    • 5q − 6(q + 7)
    • (5q − 6)q + 7
  10. 因数をくくり出して37 · 13 + 37 · 7を計算しましょう。
  11. 連続する3つの整数の和は、必ず何の倍数ですか？
    • 3
    • 2
    • 6
    • 9
  12. x = 4で6(2x + 3)の値は？
よくある間違い
  • 「6x + 6 = 6xです」 第二項から6をくくり出しても、残るのは何もないのではなく1です：6x + 6 = 6(x + 1)。展開して確かめましょう。6(x)では6xにしかなりません。
  • 「12x + 18 = 2(6x + 9)で因数分解は完了です」 正しい式ですが、6x + 9にはまだ共通因数3があります。最大の共通因数である6をくくり出して、6(2x + 3)にします。
  • 「−8y − 24 = −8(y − 3)です」 展開して確かめましょう。−8 · (−3) = +24で、−24ではありません。−8をくくり出すと、括弧の中の2つの符号がどちらも変わり、−8(y + 3)になります。
先生からひとこと韓国の2022年改訂教育課程では、因数分解より前に最大公約数を2度学びます。小学校5～6年では約数と公約数とともに、中学校では素因数分解で求める方法として学びます。因数分解そのものは中学校の多項式の乗法と因数分解の学習基準にあり、解説では両者を逆の過程として理解するよう求めています。用語一覧には因数と因数分解があります。また、数の計算と素因数分解が多項式に広がることにも気付かせるとされており、贈答セットの問題はそのつながりを具体的に示します。学習者が省きがちなのは、最後に展開して確かめる段階です。これも答案の一部にしましょう。
ポイント
  • 因数分解は和を積に書き直すことです：ab + ac = a(b + c)。
  • 数と文字の両方について、すべての項の最大の共通因数を見つけ、括弧の外に出します。
  • 展開して確かめます：5(a + 1)は5a + 5に戻ります。
  • 最大の因数をくくり出します。最初の項が負のときはマイナス記号も出します：−8y − 24 = −8(y + 3)。
このコースの出典 (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

確認日: 2026-10-19