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Colocando um fator comum em evidência

12x + 18 e 6(2x + 3) são a mesma expressão. Só a segunda mostra de imediato que, para qualquer inteiro não negativo x, o valor é múltiplo de 6.

Doze canetas, dezoito cadernos, sem sobras

Imagine a dona de uma papelaria com 12 canetas e 18 cadernos querendo montar kits de presente idênticos, todos iguais e sem sobrar nada. Dois kits funcionam: 6 canetas e 9 cadernos por kit. Três também: 4 e 6. O máximo é 6 kits, cada um com 2 canetas e 3 cadernos, porque 6 é o maior número que divide 12 e 18. Em símbolos, ela passou de soma a produto: 12 + 18 = 6 · 2 + 6 · 3 = 6(2 + 3). Seis kits, cada um com 2 + 3 itens. Ler da direita para a esquerda é a distributiva anterior; da esquerda para a direita, fatoração.

Agora aumente o pedido: x caixas de 12 canetas e 18 cadernos soltos. O total é 12x + 18, e o mesmo 6 divide as duas partes: 12x + 18 = 6 · 2x + 6 · 3 = 6(2x + 3). Na figura, há um retângulo de área 12x + 18. Com altura 6, a largura é 2x + 3. Você também poderia usar altura 2 e largura 6x + 9, o que também é uma afirmação verdadeira, mas 6x + 9 ainda tem o fator 3 dentro. Ao extrair o maior fator comum, não sobra mais nada para extrair.

Dois retângulos de mesma área, 12x + 18, na mesma escala. Em cima: altura 6, largura 2x + 3. Embaixo: altura 2, largura 6x + 9. O inferior está certo, mas incompleto, pois 6x + 9 = 3(2x + 3).

Encontrando o máximo fator comum

Fatorar é decompor um produto em fatores. O máximo fator comum de duas ou mais expressões é a maior expressão que é fator de todas. Para números, liste os fatores primos e mantenha os compartilhados. O primeiro exemplo da OpenStax é 54 e 36: 54 = 2 · 3 · 3 · 3 e 36 = 2 · 2 · 3 · 3; compartilham 2 · 3 · 3 = 18, e de fato 54 = 18 · 3 e 36 = 18 · 2. Variáveis funcionam igual, contando cada letra como fator. 27x³ = 3 · 3 · 3 · x · x · x e 18x⁴ = 2 · 3 · 3 · x · x · x · x compartilham 3 · 3 · x · x · x, então seu máximo fator comum é 9x³.

  1. Encontre o máximo fator comum de todos os termos.
  2. Reescreva cada termo como o máximo fator comum vezes outro fator.
  3. Use a distributiva ao contrário para pôr o fator comum em evidência fora do parêntese.
  4. Confira multiplicando os fatores de volta.

São os quatro passos da OpenStax, e o último costuma ser pulado. Multiplicar de volta é rápido e detecta quase todo erro. 4x + 12 = 4(x + 3), e 4 · x + 4 · 3 recupera 4x + 12. 12x − 60 = 12(x − 5). 5a + 5 = 5(a + 1), em que o 1 importa: sem ele, o desenvolvimento seria 5a, não 5a + 5. Com três termos, o fator precisa dividir todos, como em 4y² + 24y + 28 = 4(y² + 6y + 7). Com letras, pode incluir uma potência: 5x³ − 25x² = 5x²(x − 5) e 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5).

Se o primeiro termo é negativo, costuma-se extrair o menos junto com o fator comum. A OpenStax fatora −8y − 24 como −8(y + 3); confira: −8 · y = −8y e −8 · 3 = −24. O fator comum não precisa ser um só termo. Em 5q(q + 7) − 6(q + 7), as duas partes contêm q + 7 inteiro, que sai como bloco: (q + 7)(5q − 6). Fatorar também explica fatos sobre inteiros. Três consecutivos n, n + 1 e n + 2 somam 3n + 3 = 3(n + 1), sempre múltiplo de 3 e sempre o triplo do número do meio.

Carregando

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B contém 12x + 18. Digite =6*(2*A2+3) em C2 e preencha para baixo: cada linha coincide com B. Teste uma fatoração errada, como =6*(2*A2+18), para ver a conferência falhar; depois corrija.
4x + 124(x + 3)
12x − 6012(x − 5)
5a + 55(a + 1)
5x³ − 25x²5x²(x − 5)
−8y − 24−8(y + 3)
21x³ − 9x² + 15x3x(7x² − 3x + 5)
n + (n + 1) + (n + 2)3(n + 1)
  1. Encontre o MDC de 54 e 36.
  2. Encontre o MDC de 12 e 18.
  3. Fatore 4x + 12.
  4. Fatore 12x − 60.
  5. Fatore 5a + 5.
  6. Fatore −8y − 24, extraindo o sinal menos.
  7. Fatore completamente 5x³ − 25x².
    • 5x²(x − 5)
    • 5x(x² − 5x)
    • 5(x³ − 5x²)
    • x²(5x − 25)
  8. Fatore completamente 21x³ − 9x² + 15x.
    • 3x(7x² − 3x + 5)
    • 3(7x³ − 3x² + 5x)
    • x(21x² − 9x + 15)
    • 3x(7x² − 9x + 15)
  9. Fatore 5q(q + 7) − 6(q + 7).
    • (q + 7)(5q − 6)
    • (q + 7)(5q + 6)
    • 5q − 6(q + 7)
    • (5q − 6)q + 7
  10. Use a fatoração para calcular 37 · 13 + 37 · 7.
  11. A soma de três inteiros consecutivos quaisquer é sempre múltiplo de:
    • 3
    • 2
    • 6
    • 9
  12. Calcule 6(2x + 3) com x = 4.
Erros comuns
  • “6x + 6 = 6x.” Extrair 6 do segundo termo deixa 1, em vez de fazer o termo desaparecer: 6x + 6 = 6(x + 1). Desenvolva para conferir: 6(x) é só 6x.
  • “12x + 18 = 2(6x + 9) está completamente fatorado.” A igualdade está certa, mas 6x + 9 ainda tem fator comum 3. Extraia o maior, 6, para obter 6(2x + 3).
  • “−8y − 24 = −8(y − 3).” Desenvolva para conferir: −8 · (−3) = +24, não −24. Extrair −8 troca os dois sinais internos: −8(y + 3).
Nota do professorNo currículo nacional coreano de 2022, o máximo divisor comum (MDC) aparece duas vezes antes da fatoração algébrica: do 5º ao 6º ano da escola primária, com divisores e divisores comuns, e nos anos finais, quando se usa a decomposição em fatores primos para encontrá-lo. A fatoração algébrica fica no objetivo sobre multiplicar e fatorar polinômios, com a orientação de compreender os dois processos como inversos. A lista inclui fator e fatoração. Também se pede perceber como a aritmética e a decomposição em primos se estendem aos polinômios; o problema dos kits de presente torna a ligação concreta. O passo pulado é conferir pelo desenvolvimento ao final, então inclua-o na resposta escrita.
Pontos-chave
  • Fatorar é escrever uma soma como produto: ab + ac = a(b + c).
  • Encontre o máximo fator comum de todos os termos, considerando os números e as letras, e ponha-o em evidência fora do parêntese.
  • Confira desenvolvendo: 5(a + 1) recupera 5a + 5.
  • Extraia o maior fator e, se o primeiro termo for negativo, o sinal menos: −8y − 24 = −8(y + 3).
Fontes deste curso (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

Data de verificação: 2026-10-19