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Mettre un facteur commun en évidence

12x + 18 et 6(2x + 3) sont la même expression. Seule la seconde montre immédiatement que pour tout entier naturel x, la valeur est un multiple de 6.

Douze stylos, dix-huit cahiers, aucun reste

Imagine une papetière qui a 12 stylos et 18 cahiers et veut composer des lots cadeaux identiques, chaque lot étant pareil et rien ne restant. Deux lots conviennent : 6 stylos et 9 cahiers chacun. Trois lots conviennent aussi : 4 et 6. Le maximum est de 6 lots, chacun avec 2 stylos et 3 cahiers, car 6 est le plus grand nombre qui divise à la fois 12 et 18. En symboles, elle a transformé une somme en produit : 12 + 18 = 6 · 2 + 6 · 3 = 6(2 + 3). Six lots, et chaque lot contient 2 + 3 objets. Lire cette ligne de droite à gauche, c'est la distributivité de l'unité précédente. La lire de gauche à droite, c'est factoriser.

Augmentons la commande : x boîtes de 12 stylos et 18 cahiers séparés. Le total est 12x + 18, et 6 divise encore les deux parties : 12x + 18 = 6 · 2x + 6 · 3 = 6(2x + 3). La figure représente un rectangle d'aire 12x + 18 : avec hauteur 6, largeur 2x + 3. On pourrait aussi choisir hauteur 2 et largeur 6x + 9 ; c'est juste, mais il reste un facteur 3 dans 6x + 9. Extraire le plus grand facteur commun ne laisse plus rien à extraire.

Deux rectangles d'aire 12x + 18 à la même échelle. En haut : hauteur 6, largeur 2x + 3. En bas : hauteur 2, largeur 6x + 9. Le second est juste mais incomplet, car 6x + 9 = 3(2x + 3).

Trouver le plus grand facteur commun

Factoriser, c'est retrouver les facteurs d'un produit. Le plus grand facteur commun de plusieurs expressions est la plus grande expression qui les divise toutes. Pour les nombres, liste les facteurs premiers et garde ceux qui sont communs. Premier exemple d'OpenStax : 54 = 2 · 3 · 3 · 3 et 36 = 2 · 2 · 3 · 3 ; ils partagent 2 · 3 · 3 = 18, et 54 = 18 · 3, 36 = 18 · 2. Même méthode avec les variables, chaque lettre comptant comme facteur. 27x³ = 3 · 3 · 3 · x · x · x et 18x⁴ = 2 · 3 · 3 · x · x · x · x partagent 3 · 3 · x · x · x : leur plus grand facteur commun est 9x³.

  1. Trouve le plus grand facteur commun de tous les termes.
  2. Réécris chaque terme comme ce facteur multiplié par un autre.
  3. Utilise la distributivité à l'envers pour sortir le facteur commun des parenthèses.
  4. Vérifie en développant le produit obtenu.

Ce sont les quatre étapes d'OpenStax ; la dernière est souvent oubliée. Développer est rapide et repère presque toute erreur. 4x + 12 = 4(x + 3), et 4 · x + 4 · 3 redonne 4x + 12. 12x − 60 = 12(x − 5). 5a + 5 = 5(a + 1), où le 1 compte : sans lui on retrouverait 5a, pas 5a + 5. Avec trois termes, le facteur doit diviser les trois, comme 4y² + 24y + 28 = 4(y² + 6y + 7). Il peut inclure une puissance : 5x³ − 25x² = 5x²(x − 5) et 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5).

Si le premier terme est négatif, on extrait généralement aussi le moins. OpenStax factorise −8y − 24 en −8(y + 3) ; vérifie : −8 · y = −8y et −8 · 3 = −24. Le facteur commun peut aussi contenir plusieurs termes. Dans 5q(q + 7) − 6(q + 7), q + 7 apparaît en entier dans les deux parties : (q + 7)(5q − 6). La factorisation explique aussi des propriétés des entiers. Trois entiers consécutifs n, n + 1 et n + 2 ont pour somme 3n + 3 = 3(n + 1), toujours multiple de 3 et triple de l'entier du milieu.

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B contient 12x + 18. Saisis =6*(2*A2+3) en C2 et recopie : chaque ligne correspond à B. Essaie une erreur comme =6*(2*A2+18) pour voir la vérification échouer, puis corrige.
4x + 124(x + 3)
12x − 6012(x − 5)
5a + 55(a + 1)
5x³ − 25x²5x²(x − 5)
−8y − 24−8(y + 3)
21x³ − 9x² + 15x3x(7x² − 3x + 5)
n + (n + 1) + (n + 2)3(n + 1)
  1. Trouve le PGCD de 54 et 36.
  2. Trouve le PGCD de 12 et 18.
  3. Factorise 4x + 12.
  4. Factorise 12x − 60.
  5. Factorise 5a + 5.
  6. Factorise −8y − 24 en sortant le moins.
  7. Factorise complètement 5x³ − 25x².
    • 5x²(x − 5)
    • 5x(x² − 5x)
    • 5(x³ − 5x²)
    • x²(5x − 25)
  8. Factorise complètement 21x³ − 9x² + 15x.
    • 3x(7x² − 3x + 5)
    • 3(7x³ − 3x² + 5x)
    • x(21x² − 9x + 15)
    • 3x(7x² − 9x + 15)
  9. Factorise 5q(q + 7) − 6(q + 7).
    • (q + 7)(5q − 6)
    • (q + 7)(5q + 6)
    • 5q − 6(q + 7)
    • (5q − 6)q + 7
  10. Utilise la factorisation pour calculer 37 · 13 + 37 · 7.
  11. La somme de trois entiers consécutifs quelconques est toujours un multiple de :
    • 3
    • 2
    • 6
    • 9
  12. Évalue 6(2x + 3) pour x = 4.
Erreurs fréquentes
  • « 6x + 6 = 6x. » Sortir 6 du second terme laisse 1, pas une place vide : 6x + 6 = 6(x + 1). Développe pour vérifier : 6(x) vaut seulement 6x.
  • « 12x + 18 = 2(6x + 9) est entièrement factorisée. » L'égalité est juste, mais 6x + 9 a encore un facteur commun 3. Sors le plus grand, 6, pour obtenir 6(2x + 3).
  • « −8y − 24 = −8(y − 3). » Développe : −8 · (−3) = +24, pas −24. Sortir −8 change les deux signes intérieurs : −8(y + 3).
Note du professeurDans le programme national coréen de 2022, le PGCD apparaît deux fois avant la factorisation algébrique : en 5e et 6e années du primaire avec les diviseurs communs, puis au collège par décomposition en facteurs premiers. La factorisation figure dans l'objectif sur les produits et factorisations de polynômes ; les notes demandent d'y voir des processus inverses. Facteur et factorisation sont dans la liste. Les élèves doivent aussi comprendre comment l'arithmétique et la décomposition en facteurs premiers s'étendent aux polynômes : les lots de cadeaux rendent ce lien concret. L'étape oubliée est la vérification par développement ; fais-la figurer dans la réponse écrite.
L'essentiel
  • Factoriser écrit une somme comme produit : ab + ac = a(b + c).
  • Trouve le plus grand facteur commun de tous les termes, nombres et lettres, et sors-le des parenthèses.
  • Vérifie en développant : 5(a + 1) redonne 5a + 5.
  • Sors le plus grand facteur et le moins si le premier terme est négatif : −8y − 24 = −8(y + 3).
Sources de ce cours (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

Consulté le: 2026-10-19