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Home›Algebra›Espressioni

Raccogliere un fattore comune

12x + 18 e 6(2x + 3) sono la stessa espressione. Solo la seconda mostra a colpo d'occhio che, per qualsiasi numero intero x, il valore è un multiplo di 6.

Dodici penne, diciotto quaderni, nessun avanzo

Immagina la proprietaria di una cartoleria con 12 penne e 18 quaderni che vuole preparare confezioni regalo identiche, tutte uguali e senza avanzi. Due confezioni funzionano: 6 penne e 9 quaderni ciascuna. Anche tre confezioni funzionano: 4 e 6. Il massimo che può preparare è 6 confezioni, ciascuna con 2 penne e 3 quaderni, perché 6 è il numero più grande che divide sia 12 sia 18. In simboli, ha trasformato una somma in un prodotto: 12 + 18 = 6 · 2 + 6 · 3 = 6(2 + 3). Sei confezioni, ciascuna contenente 2 + 3 oggetti. Leggere quella riga da destra a sinistra significa applicare la proprietà distributiva dell'unità precedente. Leggerla da sinistra a destra significa scomporre in fattori.

Supponi ora che l'ordine sia più grande: x scatole da 12 penne e 18 quaderni sfusi. Il totale è 12x + 18, e lo stesso 6 divide ancora entrambe le parti, quindi 12x + 18 = 6 · 2x + 6 · 3 = 6(2x + 3). La figura lo mostra come un rettangolo di area 12x + 18. Se lo fai alto 6, è largo 2x + 3. Potresti anche farlo alto 2 e largo 6x + 9, e anche questa è un'affermazione vera, ma 6x + 9 contiene ancora un fattore 3. Raccogliendo il massimo fattore comune non resta più nulla da raccogliere.

Due rettangoli con la stessa area, 12x + 18, disegnati nella stessa scala. In alto: altezza 6, larghezza 2x + 3. In basso: altezza 2, larghezza 6x + 9. Quello in basso è corretto ma non finito, perché 6x + 9 = 3(2x + 3).

Trovare il massimo fattore comune

Scomporre significa riportare un prodotto ai suoi fattori. Il massimo fattore comune, o MCD, di due o più espressioni è la più grande espressione che sia un fattore di tutte. Per i numeri, elenca i fattori primi e tieni quelli che ogni numero ha in comune. Il primo esempio di OpenStax è 54 e 36: 54 = 2 · 3 · 3 · 3 e 36 = 2 · 2 · 3 · 3, quindi condividono 2 · 3 · 3 = 18, e infatti 54 = 18 · 3 e 36 = 18 · 2. Le variabili funzionano allo stesso modo, contando ogni lettera come un fattore. 27x³ = 3 · 3 · 3 · x · x · x e 18x⁴ = 2 · 3 · 3 · x · x · x · x condividono 3 · 3 · x · x · x, quindi il loro MCD è 9x³.

  1. Trova il massimo fattore comune a tutti i termini.
  2. Riscrivi ciascun termine come quel fattore per un altro fattore.
  3. Usa la proprietà distributiva al contrario per portare il massimo fattore comune fuori dalla parentesi.
  4. Verifica moltiplicando di nuovo i fattori.

Sono i quattro passi indicati da OpenStax, e l'ultimo è quello che gli studenti saltano. Moltiplicare di nuovo è rapido e scopre quasi ogni svista. 4x + 12 = 4(x + 3), e 4 · x + 4 · 3 restituisce 4x + 12. 12x − 60 = 12(x − 5). 5a + 5 = 5(a + 1), dove l'1 conta: senza di esso la parentesi, sviluppata, darebbe 5a e non 5a + 5. Con tre termini il massimo fattore comune deve dividerli tutti e tre, come in 4y² + 24y + 28 = 4(y² + 6y + 7). Con le lettere può includere una potenza, come in 5x³ − 25x² = 5x²(x − 5) e 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5).

Quando il primo termine è negativo, di solito si raccoglie anche il segno meno come parte del massimo fattore comune. OpenStax scompone −8y − 24 come −8(y + 3); verifica: −8 · y = −8y e −8 · 3 = −24. Il fattore comune non deve nemmeno essere un solo termine. In 5q(q + 7) − 6(q + 7) entrambe le parti contengono l'intera parentesi q + 7, quindi si raccoglie come un unico blocco: (q + 7)(5q − 6). La scomposizione spiega anche fatti sui numeri interi. Tre interi consecutivi n, n + 1 e n + 2 hanno per somma 3n + 3 = 3(n + 1), che è sempre un multiplo di 3 e sempre il triplo del numero centrale.

Caricamento

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B contiene 12x + 18. Scrivi =6*(2*A2+3) in C2 e riempi in basso: tutte le righe coincidono. Prova l'errore =6*(2*A2+18), osserva la verifica fallire e correggi.
4x + 124(x + 3)
12x − 6012(x − 5)
5a + 55(a + 1)
5x³ − 25x²5x²(x − 5)
−8y − 24−8(y + 3)
21x³ − 9x² + 15x3x(7x² − 3x + 5)
n + (n + 1) + (n + 2)3(n + 1)
  1. Trova il MCD di 54 e 36.
  2. Trova il MCD di 12 e 18.
  3. Scomponi 4x + 12.
  4. Scomponi 12x − 60.
  5. Scomponi 5a + 5.
  6. Scomponi −8y − 24 raccogliendo il meno.
  7. Scomponi completamente 5x³ − 25x².
    • 5x²(x − 5)
    • 5x(x² − 5x)
    • 5(x³ − 5x²)
    • x²(5x − 25)
  8. Scomponi completamente 21x³ − 9x² + 15x.
    • 3x(7x² − 3x + 5)
    • 3(7x³ − 3x² + 5x)
    • x(21x² − 9x + 15)
    • 3x(7x² − 9x + 15)
  9. Scomponi 5q(q + 7) − 6(q + 7).
    • (q + 7)(5q − 6)
    • (q + 7)(5q + 6)
    • 5q − 6(q + 7)
    • (5q − 6)q + 7
  10. Calcola 37 · 13 + 37 · 7 con il raccoglimento.
  11. La somma di tre numeri interi consecutivi qualsiasi è sempre un multiplo di:
    • 3
    • 2
    • 6
    • 9
  12. Calcola 6(2x + 3) per x = 4.
Errori comuni
  • «6x + 6 = 6x.» Raccogliere 6 dal secondo termine lascia 1, non il nulla: 6x + 6 = 6(x + 1). Sviluppa per verificare: 6(x) dà solo 6x.
  • «12x + 18 = 2(6x + 9) è una scomposizione completa.» È vero, ma 6x + 9 ha ancora fattore comune 3. Raccogli il massimo fattore 6: ottieni 6(2x + 3).
  • «−8y − 24 = −8(y − 3).» Verifica sviluppando: −8 · (−3) = +24, non −24. Raccogliere −8 cambia entrambi i segni interni: −8(y + 3).
Nota per l'insegnanteNel curricolo nazionale coreano del 2022 il massimo fattore comune compare due volte prima della scomposizione: nelle classi 5 e 6 della primaria con divisori e divisori comuni, e alla scuola media, dove la scomposizione in fattori primi serve a trovarlo. La scomposizione in sé rientra nello standard della scuola media sulla moltiplicazione di polinomi e sulla scomposizione, e la sua spiegazione chiede agli studenti di capire i due procedimenti come processi inversi. L'elenco dei termini comprende fattore e scomposizione. Il curricolo dice anche che gli studenti dovrebbero vedere che l'aritmetica e la scomposizione in fattori primi si estendono ai polinomi, e il problema delle confezioni regalo rende concreto questo legame. Il passo che gli studenti saltano è la verifica finale sviluppando, quindi falla entrare nella risposta scritta.
Punti chiave
  • Scomporre trasforma una somma in prodotto: ab + ac = a(b + c).
  • Trova il massimo fattore comune a tutti i termini, numeri e lettere, e raccoglilo fuori parentesi.
  • Verifica sviluppando: 5(a + 1) restituisce 5a + 5.
  • Raccogli il massimo fattore e anche il meno se il primo termine è negativo: −8y − 24 = −8(y + 3).
Fonti di questo corso (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

Consultato il: 2026-10-19