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규칙을 식으로: 패턴과 공식

네모난 식탁 하나에는 4명이 앉습니다. 식탁 n개를 한 줄로 붙이면 (2n + 2)명이 앉으므로, 20개를 붙이면 42명입니다.

한 줄로 붙인 식탁

급식실의 네모난 식탁에는 한 변에 한 명씩, 모두 4명이 앉는다고 합시다. 두 개를 붙이면 맞닿은 변에는 앉을 수 없어서 6명, 세 개면 8명, 네 개면 10명입니다. 식탁이 1개 늘 때마다 자리가 2개씩 늘어납니다. 「2씩 늘어난다」는 금방 보이지만, 「식탁 20개면 몇 명?」에 답하려면 20번째까지 하나하나 세어 가야 합니다. 식탁의 개수를 n이라 하고 자리 수를 n의 식으로 나타내면 한 번에 답할 수 있습니다. 아래 그림이 처음 세 가지 배치입니다.

위: 네모난 식탁 1, 2, 3개를 한 줄로 붙이면 4, 6, 8명(주황 점)이 앉습니다. 식탁마다 위아래에 한 명씩, 양 끝에 한 명씩이라 2n + 2입니다. 아래: 정사각형 1, 2, 3개를 한 줄로 만들려면 성냥개비가 4, 7, 10개 필요합니다. 처음 한 개에 정사각형마다 3개씩 더하므로 3n + 1입니다.

식탁 n개를 붙인 그림을 보면, 식탁마다 위와 아래에 한 명씩 앉으므로 2n명, 양 끝에 한 명씩 더해 모두 (2n + 2)명입니다. 센 값과 맞는지 확인합니다. n = 1이면 4, n = 3이면 8입니다. 이제 질문에 답할 수 있습니다. 식탁 20개에는 2 × 20 + 2 = 42명이 앉습니다. 거꾸로도 쓸 수 있습니다. 30명이 앉으려면 2n + 2 = 30이어야 하니 2n = 28, n = 14개입니다. 규칙을 식으로 써 두면 어떤 n이든 넣기만 하면 답이 나오는 계산 기계가 됩니다.

다르게 보면 다른 식, 그래도 같은 식

같은 식탁을 다르게 보는 사람도 있습니다. 「첫 식탁에 4명, 식탁이 하나 늘 때마다 2명씩 더」라고 보면 식탁 n개일 때 4 + 2(n − 1)명입니다. 2n + 2와 전혀 다르게 생겼지만 전개하면 4 + 2n − 2 = 2n + 2로 같은 식입니다. 그림 아래쪽 성냥개비도 마찬가지입니다. 「처음 1개에 정사각형마다 3개씩」이라고 보면 3n + 1, 「첫 정사각형에 4개, 그다음부터 3개씩」이라고 보면 4 + 3(n − 1)인데, 이것도 정리하면 3n + 1입니다. 두 사람이 서로 다른 규칙을 찾았다면 둘 다 간단히 해서 비교해 보세요. 같아지면 두 사람 모두 규칙을 바르게 보았습니다.

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끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

A열은 식탁의 개수입니다. B2에 =2*A2+2를 쓰고 아래로 채우면 4, 6, 8, 10, 12, 14가 나옵니다. 그다음 =4+2*(A2-1)로 바꿔 넣어 보세요. 열의 값이 하나도 바뀌지 않습니다.

표의 짝을 좌표평면에 찍어 보면, 가로는 식탁의 개수, 세로는 자리 수로 하여 (1, 4), (2, 6), (3, 8)이 한 직선 위에 놓입니다. 그래프 실험실은 직선 y = 2x + 2를 그립니다. 급식실에서 뜻이 있는 것은 x가 1 이상의 자연수인 점뿐이지만, 직선은 규칙을 한눈에 보여 줍니다. 오른쪽으로 1 갈 때마다 2씩 올라가는 것이 처음에 본 「2씩 늘어난다」이고, 세로축과 만나는 2는 양 끝의 두 자리입니다. 이런 규칙은 다음 과정에서 배울 함수로 이어집니다.

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끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

직선 y = 2x + 2입니다. 그래프 아래 작은 표에서 x = 1이면 4, x = 2이면 6으로 자리 수와 같습니다. 기울기를 3, 절편을 1로 옮기면 성냥개비 규칙 3n + 1의 직선이 됩니다.

공식은 누군가 미리 찾아 둔 규칙입니다

공식은 누군가 같은 생각을 미리 정리해 둔 식입니다. 직사각형의 둘레는 (가로) × 2 + (세로) × 2, 문자로 쓰면 P = 2a + 2b입니다. 가로가 8 cm, 세로가 5 cm이면 P = 16 + 10 = 26 cm입니다. 분배법칙으로 묶으면 P = 2(a + b)이고, 2 × 13 = 26으로 답이 같습니다. 거리, 속력, 시간 사이에는 (거리) = (속력) × (시간)이 성립합니다. 시속 60 km로 2.5시간 달리는 기차는 60 × 2.5 = 150 km를 갑니다. 공식에 수를 넣는 것도 결국 식의 값을 구하는 일입니다. 문자에 값을 대입하고 계산 순서를 따르면 됩니다. 곱하기 전에 단위가 서로 맞는지 먼저 확인하세요.

  1. 2n + 2를 이용하면 식탁 20개를 한 줄로 붙였을 때 몇 명이 앉을까요?
  2. 정확히 30명이 앉으려면 식탁을 몇 개 붙여야 할까요?
  3. 정사각형 10개를 한 줄로 만들려면 성냥개비가 몇 개 필요할까요?
  4. 정사각형 n개를 한 줄로 만들 때 필요한 성냥개비 수를 n의 식으로 쓰세요.
  5. 4 + 2(n − 1)과 같은 식은?
    • 2n + 2
    • 2n + 3
    • 6n − 2
    • 2n − 1
  6. 5, 8, 11, 14, …에서 n번째 수를 나타내는 식은?
    • 3n + 2
    • n + 3
    • 5n
    • 3n + 5
  7. 3n + 2의 100번째 수는?
  8. 7, 11, 15, 19, …의 n번째 수를 n의 식으로 쓰세요.
  9. 가로 8 cm, 세로 5 cm인 직사각형의 둘레 2a + 2b는?
  10. 시속 60 km로 2.5시간 달리는 기차가 가는 거리는?
  11. 규칙 5n − 2에 n = 6을 넣은 값은?
자주 하는 실수
  • 「식탁 하나에 4명이니 n개면 4n명이다.」 붙인 식탁은 맞닿은 변의 자리가 없어집니다. n = 2이면 4n은 8인데 실제로는 6명만 앉습니다. 규칙을 믿기 전에 그림을 세어 확인하세요.
  • 「5, 8, 11, 14는 앞의 수보다 3 크니까 규칙은 n + 3이다.」 「앞의 수보다 3 크다」는 다음 수를 구하는 규칙이고, n + 3에 n = 1, 2, 3, 4를 넣으면 4, 5, 6, 7이 나옵니다. n번째 수의 식은 한 번에 커지는 양 3을 곱한 3n에 고정된 수를 더한 3n + 2입니다.
  • 「n = 1에서 맞으니 규칙이 맞다.」 틀린 규칙도 한 경우는 맞을 수 있습니다. n = 1이면 4n도 2n + 2도 4입니다. n = 2, n = 3처럼 적어도 두 개는 더 넣어 보세요.
선생님 메모규칙 찾기는 2022 개정 교육과정 전체에 걸쳐 나옵니다. 초등학교 1~2학년군 [2수02-01]에서 물체, 무늬, 수의 배열에서 규칙을 찾고, 3~4학년군 [4수02-01]에서 변화 규칙을 수나 식으로 나타내는데, 「혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않는다」는 고려 사항이 있습니다. 5~6학년군 [6수02-01]에서는 대응 관계를 □, △를 사용한 식으로 나타내되 덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 가운데 하나로 표현되는 간단한 경우만 다룹니다. 그러니 2n + 2 같은 규칙은 문자와 식의 값, 그리고 [9수02-14]의 함숫값이 나오는 중학교 1~3학년군의 몫입니다. 같은 무늬를 보고 학생마다 찾은 서로 다른 식을 칠판에 모아 함께 간단히 해 보는 활동이 효과가 좋습니다.
핵심 정리
  • n의 식으로 쓴 규칙은 어떤 경우든 한 번에 답합니다: 식탁 n개에 (2n + 2)명.
  • 규칙은 직접 센 경우 하나가 아니라 세 개 이상과 맞춰 봅니다.
  • 무늬를 다르게 보면 식이 달라 보여도 같은 식입니다: 4 + 2(n − 1) = 2n + 2.
  • 공식은 미리 만들어 둔 식입니다: 둘레 2a + 2b, (거리) = (속력) × (시간).
이 과정의 출처 (10)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수02-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고 수나 식으로 나타내기(규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않음); 초등학교 5~6학년군 [6수01-01] 혼합 계산에서 계산하는 순서(계산 순서에 중점, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않음), [6수01-04] 약수·공약수·최대공약수, [6수02-01] 대응 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로(덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만); 중학교 1~3학년군 [9수01-02] 소인수분해로 최대공약수, 수와 연산 용어 거듭제곱·지수·밑·분배법칙, [9수02-01] 다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 유용성을 인식하고 식의 값 구하기, [9수02-02] 일차식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-09] 다항식의 덧셈과 뺄셈, [9수02-10] (단항식)×(다항식), [9수02-14] 함숫값, [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(역관계 이해); 변화와 관계 용어 대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 등식, 전개, 변수, 인수, 인수분해; '식의 값', '전개식'은 교수·학습 상황에서 사용 가능; 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점 탐색)
  • Textbooks: OpenStax Prealgebra 2e, 2.1 Use the Language of Algebra (Greg 20 and Alex 23, g + 3; variable and constant; × not used in algebra; expression like a phrase, equation like a sentence; 4 + 3·7 gives 25, not 49; PEMDAS and "Please Excuse My Dear Aunt Sally"; multiplication and division left to right, 18 ÷ 9·2; 18 ÷ 6 + 4(5 − 2); 5 + 2³ + 3[6 − 3(4 − 2)]; 2³ + 3⁴ ÷ 3 − 5²; work down the page: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/2-1-use-the-language-of-algebra)
  • 2.2 Evaluate, Simplify, and Translate Expressions (evaluate by substituting; 9x − 2 at x = 5 and x = 1; term, coefficient, coefficient of x is 1; 9b + 15x² + a + 6; like terms 5x, 7, n², 4, 3x, 9n²; 3x + 7 + 4x + 5; 7x² + 8x − x² − 4x; eight more than y, seven less than 9z; window height 6 inches less than width; dimes 2 less than 5 times the quarters: .../pages/2-2-evaluate-simplify-and-translate-expressions)
  • 7.3 Distributive Property (three friends at the movies, 3(9.25) = 3(9 + 0.25) = 27.75; a(b + c) = ab + ac, a(b − c), (b + c)a; 3(x + 4); 2(x − 3); 6(5y + 1); 100(0.3 + 0.25q): .../pages/7-3-distributive-property)
  • 9.4 (perimeter of a rectangle P = 2L + 2W: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, 7.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping (GCF of 54 and 36 is 18; GCF of 27x³ and 18x⁴ is 9x³; four steps, distributive property in reverse, check by multiplying; 4x + 12, 5a + 5, 12x − 60, 4y² + 24y + 28, 5x³ − 25x², 21x³ − 9x² + 15x = 3x(7x² − 3x + 5), −8y − 24 = −8(y + 3), 5q(q + 7) − 6(q + 7): openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping)
  • 2.6 (distance, rate and time formula d = rt: .../pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable)
  • Microsoft Support, "Calculation operators and precedence in Excel" (negation before %, ^, then * and /, then + and −; =5+2*3: support.microsoft.com/en-us/office/calculation-operators-and-precedence-in-excel-48be406d-4975-4d31-b2b8-7af9e0e2878a)
  • History for the story block only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "François Viète" (1540 to 1603; studied law, son of a lawyer; decoded letters to Philip II of Spain for Henry IV; In artem analyticam isagoge, Tours 1591, first systematic algebraic notation, vowels for unknowns and consonants for knowns; convention of early letters for knowns and late letters for unknowns introduced later by Descartes in La Géométrie: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete/)
  • "René Descartes" (1596 to 1650; La Géométrie an appendix to the Discours de la méthode, published at Leiden in 1637: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes/).

확인한 날: 2026-10-19