에너지 보존과 롤러코스터
높이 20.0 m 언덕 꼭대기에서 멈춘 상태로 출발한 롤러코스터는 마찰을 무시하면 질량과 상관없이 바닥에서 초속 19.8 m가 됩니다.
높이를 속력과 바꾸기
롤러코스터에는 내려가는 길에 차를 미는 엔진이 없습니다. 체인이나 발사 장치가 출발할 때 딱 한 번 에너지를 주고, 그 뒤로 이어지는 주행은 위치 에너지와 운동 에너지가 서로 주고받는 긴 교환입니다. 언덕을 내려갈 때는 위치 에너지가 운동 에너지로 바뀌어 차들이 빨라집니다. 다음 언덕을 올라갈 때는 운동 에너지가 다시 위치 에너지로 바뀌어 차들이 느려집니다.
마찰이 무시해도 될 만큼 작다면 두 에너지의 합계는 그대로 유지됩니다. 출발할 때의 KE + PE는 나중에 어느 지점에서 잰 KE + PE와 언제나 같습니다. 이것을 역학적 에너지 보존(conservation of mechanical energy)이라고 합니다. 이것을 이용하면 궤도가 어떤 모양인지 전혀 몰라도 높이만으로 속력을 구할 수 있습니다.
OpenStax 예제
예를 들어 롤러코스터가 높이 20.0 m인 언덕 꼭대기에서 멈춘 상태로 출발한다고 해 봅시다. 언덕 바닥에 닿았을 때는 처음의 위치 에너지가 모두 운동 에너지로 바뀌어 있습니다. m g h = ½ m v²입니다. 질량 m이 양쪽에 모두 있으므로 서로 약분되어 사라지고, v = √(2 g h) = √(2 × 9.8 × 20.0) = 19.8 m/s, 시속 약 71 km가 남습니다. 그래서 손님이 가득 탄 열차와 텅 빈 열차가 바닥에서 같은 속력에 이릅니다. 공기 저항이 작을 때 무거운 돌과 가벼운 돌이 함께 떨어지는 것과 같은 이치입니다.
이번에는 롤러코스터가 꼭대기를 이미 초속 5.00 m로 움직이며 지나간다고 해 봅시다. 그러면 처음에 가지고 있던 운동 에너지가 더해집니다. ½ v² = ½ v₀² + g h에서 v = √(5.00² + 2 × 9.8 × 20.0) = 20.4 m/s입니다. 앞보다 빠르지만 0.6 m/s 차이로, 미리 받은 5 m/s보다 훨씬 작습니다. 더해지는 것은 에너지이고 속력은 그 합의 제곱근으로 나오기 때문에, 처음에 가진 속력의 효과는 짐작보다 작습니다.
마찰은 에너지를 열로 바꿉니다
하지만 실제 궤도와 바퀴에는 마찰이 있고, 공기도 차를 뒤로 밉니다. 이런 힘들은 음의 일을 하므로 역학적 에너지 KE + PE가 조금씩 줄어듭니다. 그렇다고 에너지가 없어지는 것은 아닙니다. 줄어든 만큼이 바퀴와 레일과 공기의 열에너지가 됩니다. 이때 넓은 뜻의 에너지 보존 법칙을 써서 계산하면 에너지 장부가 정확히 맞아떨어집니다. KE + PE + 열은 그대로입니다. 실험실에서 마찰은 미끄럼 마찰 계수 μ로 정하고, 열은 μ m g 곱하기 수평으로 움직인 거리입니다.
실험실에서 마찰을 올리고 점선을 지켜보세요. 점선은 수레가 아직 오를 수 있는 가장 높은 높이를 나타냅니다. 수레가 궤도를 1 m 지날 때마다 이 점선이 조금씩 내려옵니다. 예를 들어 μ = 0.05이면 20 m 높이에서 출발한 수레가 14 m 언덕은 넘어가지만 18 m 언덕은 넘지 못하고, 앞뒤로 구르다가 골짜기에서 마찰에 붙잡혀 멈춥니다. 롤러코스터의 첫 언덕이 언제나 가장 높은 이유가 바로 이것입니다. 뒤에 오는 언덕은 모두 그때 남아 있는 에너지로 오를 수 있는 높이보다 낮아야 합니다.
끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.
실험실에 나오는 열 막대의 길이는 미리 계산할 수 있습니다. μ = 0.02이면 수평 궤도 1 m마다 0.02 × m × g만큼 열이 생기므로, 130 m를 지나면 질량과 상관없이 0.02 × 130 = 2.6 m 높이만큼의 에너지를 잃습니다. 다만 실험실의 마찰 슬라이더는 단순하게 만든 모형입니다. 실제 롤러코스터는 바퀴 마찰과 공기 저항으로 에너지를 잃고, 공기 저항은 속력이 빠를수록 커지므로 1 m마다 잃는 양이 같지 않습니다. 그래도 장부 정리 방식은 똑같습니다. 역학적 에너지에서 빠져나간 만큼이 열로 나타납니다.
효율
기계도 똑같은 방식으로 장부를 정리합니다. 기계에서 나오는 쓸모 있는 출력은 언제나 넣어 준 에너지보다 작고, 그 둘의 비율을 효율(efficiency)이라고 합니다. 효율 = 쓸모 있는 일 ÷ 넣은 에너지 전체입니다. OpenStax 교재는 몇 가지 기계의 대표적인 값을 실어 두었습니다. 전동기는 약 98%, 휘발유 엔진은 약 30%, 석탄 발전소는 약 42%, 태양 전지는 약 10%입니다. 사람 몸의 효율은 자전거를 타거나 높은 곳을 오를 때 약 20%이지만, 수면에서 헤엄칠 때는 약 2%에 그칩니다.
| 기기나 활동 | 효율(%) |
|---|---|
| 전동기 | 98 |
| 가스난방기(가정용) | 90 |
| 석탄 발전소 | 42 |
| 디젤 엔진 | 35 |
| 휘발유 엔진 | 30 |
| 자전거 타기와 오르기 | 20 |
| 태양 전지 | 10 |
| 수면에서 헤엄치기 | 2 |
- 마찰이 없으면 KE + PE는 그대로입니다.
- 멈춘 상태에서 h만큼 내려간 뒤 속력은 √(2 g h)이고, 질량은 약분됩니다.
- 마찰은 역학적 에너지를 열로 바꾸고, KE + PE + 열은 보존됩니다.
- 효율 = 쓸모 있는 출력 ÷ 넣은 에너지, 언제나 100%보다 작습니다.
- 20.0 m 언덕에서 멈춘 상태로 출발한 롤러코스터의 바닥 속력은 몇 m/s일까요? (마찰 없음, g = 9.8, 소수 첫째 자리)
- 같은 낙차를 초속 5.00 m로 시작합니다. 바닥 속력은 몇 m/s일까요? (소수 첫째 자리)
- 손님이 가득 찬 열차와 빈 열차가 같은 언덕에서 마찰 없이 출발합니다. 바닥에서는?
- 속력이 같습니다
- 가득 찬 열차가 더 빠릅니다
- 빈 열차가 더 빠릅니다
- 가득 찬 열차는 멈춥니다
- 멈춘 상태에서 마찰 없이 5 m 내려간 뒤 속력은 몇 m/s일까요? (g = 9.8, 소수 첫째 자리)
- 바닥 속력을 두 배로 하려면(멈춘 상태에서 출발, 마찰 없음) 낙차는?
- 4배
- 2배
- √2배
- 8배
- 500 kg 수레가 20 m에서 출발합니다. 지면 기준 전체 에너지는 몇 kJ일까요? (g = 9.8)
- 마찰이 있을 때 타는 동안 일정한 것은?
- KE + PE + 열
- KE + PE
- KE만
- PE만
- 롤러코스터의 첫 언덕이 보통 가장 높은 이유는?
- 마찰이 에너지를 빼앗아 뒤의 언덕은 더 낮아야 해서
- 차가 가벼워져서
- 나중에 중력이 약해져서
- 타는 시간을 늘리려고
- 휘발유 엔진의 효율이 30%입니다. 연료 에너지 1,000 J에서 얻는 쓸모 있는 일은 몇 J일까요?
- OpenStax 표에서 효율이 가장 높은 것은?
- 전동기
- 석탄 발전소
- 휘발유 엔진
- 태양 전지
이 과정의 출처 (8)
- OpenStax College Physics 2e (openstax.org/books/college-physics-2e): 7.1 Work: the scientific definition (W = F d cos θ, briefcase cases, 1 J = 1 N·m, 1 J lifts a 100 g apple about 1 m, lawn mower 75.0 N at 35° for 25.0 m = 1.54 × 10³ J, 1 kcal = 4186 J, under 10% of food energy goes into work)
- 7.2 Kinetic energy and the work-energy theorem (KE = ½ m v², 30.0 kg package at 0.500 m/s = 3.75 J, 120 N push with 5.00 N friction over 0.800 m = 92.0 J net, final speed 2.53 m/s, a car at 100 km/h has four times the KE it has at 50 km/h)
- 7.3 Gravitational potential energy (ΔPE = m g h, reference level, path independence, 0.500 kg cuckoo clock weight raised 1.00 m = 4.90 J, 60.0 kg person landing stiffly from 3.00 m, roller coaster 20.0 m hill: 19.8 m/s, and 20.4 m/s with a 5.00 m/s start, mass cancels)
- 7.4 Conservative forces and potential energy (spring PE = ½ k x², 0.100 kg toy car, k = 250 N/m, 4.00 cm, 0.180 m rise)
- 7.5 Nonconservative forces (friction turns mechanical energy into thermal energy)
- 7.6 Conservation of energy (statement of the law, forms of energy, Table 7.1: 1000 kg car at 90 km/h 3.1 × 10⁵ J, tennis ball at 100 km/h 22 J, mosquito 1.3 × 10⁻⁶ J, daily food intake 1.2 × 10⁷ J, 1 gallon gasoline 1.2 × 10⁸ J, 1 g fat 3.9 × 10⁴ J; efficiency, Table 7.2: cycling and climbing 20%, swimming at the surface 2%, gasoline engine 30%, diesel 35%, coal power plant 42%, electric motor 98%, solar cell 10%)
- 7.7 Power (P = W ÷ t, 1 W = 1 J/s, 1 hp = 746 W, 60.0 kg woman up 3.00 m stairs in 3.50 s reaching 2.00 m/s = 538 W, Table 7.3: Sun 4 × 10²⁶ W, car 8 × 10⁴ W, person at rest 100 W, heart at rest 8 W, clothes dryer 4 × 10³ W, a 60 W incandescent bulb gives 5 W of light, power plants turn 35 to 40% of fuel energy into electricity, E = P t, 0.200 kW computer 6.00 h a day for 30.0 days = 36.0 kWh, $4.32 at $0.120 per kWh)
- g = 9.8 m/s² as in OpenStax examples (NIST standard gravity 9.80665 m/s², physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn).
확인한 날: 2026-10-17