Conservation de l’énergie et montagnes russes

Un wagon de montagnes russes partant du repos au sommet d’une bosse de 20.0 m atteint 19.8 m/s en bas si les frottements sont négligeables, quelle que soit sa masse.

Échanger de la hauteur contre de la vitesse

Un wagon de montagnes russes n’a pas de moteur pendant la descente. Une chaîne ou un dispositif de lancement lui fournit de l’énergie au départ ; ensuite, le parcours est un long échange entre énergie potentielle et énergie cinétique. En descendant, l’énergie potentielle devient de l’énergie cinétique et les wagons accélèrent. En remontant la bosse suivante, l’énergie cinétique redevient de l’énergie potentielle et ils ralentissent.

Lorsque les frottements sont assez faibles pour être négligés, la somme reste constante : KE + PE au départ est égal à KE + PE à tout instant ultérieur. C’est la conservation de l’énergie mécanique. Elle permet de calculer une vitesse à partir d’une hauteur sans connaître la forme de la piste.

Un exemple résolu d’OpenStax

Un wagon part du repos au sommet d’une bosse de 20.0 m. En bas, toute l’énergie potentielle est devenue cinétique : m g h = ½ m v². La masse apparaît des deux côtés et se simplifie, ce qui donne v = √(2 g h) = √(2 × 9.8 × 20.0) = 19.8 m/s, soit environ 71 km/h. Une rame pleine et une rame vide atteignent la même vitesse, tout comme une pierre lourde et une pierre légère tombent ensemble lorsque la résistance de l’air est faible.

Si le wagon passe au sommet avec une vitesse initiale de 5.00 m/s, son énergie cinétique de départ s’ajoute : ½ v² = ½ v₀² + g h donne v = √(5.00² + 2 × 9.8 × 20.0) = 20.4 m/s. C’est plus rapide, mais de seulement 0.6 m/s, bien moins que les 5 m/s de vitesse initiale. Les énergies s’additionnent et les vitesses se calculent avec une racine carrée : cet élan aide donc moins qu’on pourrait le croire.

Les frottements transforment l’énergie en chaleur

Les pistes et les roues réelles présentent des frottements, et l’air résiste au mouvement. Ces forces effectuent un travail négatif : l’énergie mécanique, KE + PE, diminue peu à peu. L’énergie n’est pas détruite ; elle devient de l’énergie thermique dans les roues, les rails et l’air. La conservation de l’énergie reste respectée : KE + PE + chaleur demeure constant. Dans le laboratoire, les frottements sont représentés par un coefficient de frottement cinétique μ, et la chaleur produite vaut μ m g multiplié par la distance horizontale parcourue.

Augmente les frottements et observe la ligne en pointillés, qui indique le point le plus haut que le chariot pourrait encore atteindre. Chaque mètre de piste l’abaisse. Avec μ = 0.05, le chariot partant de 20 m franchit la bosse de 14 m, mais pas celle de 18 m ; il repart en arrière et fait des allers-retours jusqu’à ce que les frottements l’immobilisent dans un creux. Voilà pourquoi la première bosse des montagnes russes est la plus haute : les suivantes doivent être assez basses pour l’énergie restante.

Tu peux prévoir la barre de chaleur du laboratoire. Avec μ = 0.02, la chaleur produite vaut 0.02 × m × g par mètre horizontal de piste. Après 130 m de piste, le chariot a donc perdu l’équivalent de 0.02 × 130 = 2.6 m de hauteur, quelle que soit sa masse. Le curseur de frottement est un modèle. Les vraies montagnes russes perdent de l’énergie par les frottements des roues et la traînée de l’air, qui augmente avec la vitesse : la perte n’est donc pas identique à chaque mètre. Le bilan reste pourtant le même : ce qui quitte l’énergie mécanique se retrouve sous forme de chaleur.

Rendement

Les machines obéissent au même bilan. L’énergie utile en sortie est toujours inférieure à l’énergie fournie ; leur rapport s’appelle le rendement : travail utile fourni ÷ énergie totale reçue. OpenStax donne des valeurs représentatives. Un moteur électrique atteint environ 98 pour cent, un moteur à essence environ 30 pour cent, une centrale à charbon environ 42 pour cent et une cellule solaire environ 10 pour cent. Le corps humain atteint environ 20 pour cent à vélo ou en montée, mais seulement environ 2 pour cent en nageant à la surface.