Сохранение энергии и американские горки

Вагонетка, стартующая из покоя с вершины высотой 20.0 м, разгоняется внизу до 19.8 м/с при пренебрежимо малом трении независимо от массы.

Обмен высоты на скорость

На спуске у американских горок нет двигателя. Цепь или пусковое устройство сообщает энергию один раз, в начале, а дальше поездка представляет собой длительный обмен между потенциальной и кинетической энергией. На спуске потенциальная энергия превращается в кинетическую, и вагончики разгоняются. На подъёме на следующую горку кинетическая энергия снова превращается в потенциальную, и вагончики замедляются.

Если трением можно пренебречь, сумма остаётся прежней: KE + PE в начале равна KE + PE в любой последующей точке. Это закон сохранения механической энергии. Он позволяет найти скорость по высоте, ничего не зная о форме рельсов.

Пример с расчётом из OpenStax

Вагонетка стартует из покоя с вершины высотой 20.0 м. Внизу вся потенциальная энергия превратилась в кинетическую: m g h = ½ m v². Масса есть в обеих частях и сокращается, поэтому v = √(2 g h) = √(2 × 9.8 × 20.0) = 19.8 м/с, около 71 км/ч. Полный и пустой составы достигают одной скорости, как тяжёлый и лёгкий камни падают вместе при малом сопротивлении воздуха.

Если вагонетка проходит вершину уже со скоростью 5.00 м/с, добавляется начальная кинетическая энергия: из ½ v² = ½ v₀² + g h получаем v = √(5.00² + 2 × 9.8 × 20.0) = 20.4 м/с. Это быстрее, чем раньше, но лишь на 0.6 м/с, гораздо меньше начальных 5 м/с. Складываются энергии, а скорость находится через квадратный корень, поэтому начальный разгон помогает меньше, чем можно ожидать.

Трение превращает энергию в тепло

У настоящих рельсов и колёс есть трение, а воздух оказывает сопротивление. Эти силы совершают отрицательную работу, поэтому механическая энергия KE + PE постепенно уменьшается. Энергия не уничтожается, а превращается в тепловую энергию колёс, рельсов и воздуха. Полный закон сохранения энергии сохраняет баланс: KE + PE + тепло остаётся неизменным. В лаборатории трение задаётся коэффициентом трения скольжения μ, а выделившееся тепло равно μ m g, умноженному на пройденное горизонтальное расстояние.

Увеличь трение и следи за пунктирной линией: это наибольшая высота, которой вагонетка ещё может достичь. Каждый метр пути понижает её. При μ = 0.05 вагонетка, стартовавшая с 20 м, преодолевает горку 14 м, но не может подняться на 18 м; она катается туда-сюда, пока трение не остановит её во впадине. Поэтому первая горка самая высокая: каждая следующая должна быть ниже высоты, доступной с оставшейся энергией.

Показание столбика тепла можно предсказать. При μ = 0.02 на каждый метр горизонтального пути выделяется 0.02 × m × g тепла, поэтому после 130 м пути вагонетка теряет запас высоты 0.02 × 130 = 2.6 м независимо от массы. Ползунок трения в лаборатории описывает модель. Настоящие горки теряют энергию из-за трения колёс и сопротивления воздуха, причём сопротивление воздуха растёт со скоростью, поэтому потери на каждом метре неодинаковы. Но баланс тот же: убыль механической энергии переходит в тепло.

Коэффициент полезного действия

Для машин действует тот же баланс. Полезная энергия на выходе всегда меньше затраченной, а их отношение называют коэффициентом полезного действия: полезная работа на выходе ÷ вся затраченная энергия. В OpenStax приведены характерные значения. У электродвигателя КПД около 98 процентов, у бензинового двигателя около 30 процентов, у угольной электростанции около 42 процентов, у солнечного элемента около 10 процентов. Для человеческого тела он составляет около 20 процентов при езде на велосипеде или подъёме, но лишь около 2 процентов при плавании у поверхности.