Energieerhaltung und Achterbahn

Ein Achterbahnwagen startet aus der Ruhe auf einem 20.0 m hohen Hügel. Bei vernachlässigbarer Reibung erreicht er unten 19.8 m/s, unabhängig von seiner Masse.

Höhe gegen Geschwindigkeit tauschen

Ein Achterbahnwagen hat bei der Abfahrt keinen Motor. Eine Kette oder eine Abschussvorrichtung gibt ihm am Anfang einmal Energie. Danach wird während der Fahrt ständig potenzielle in kinetische Energie umgewandelt und umgekehrt. Bergab wird potenzielle Energie zu kinetischer Energie und die Wagen werden schneller. Auf dem nächsten Hügel wird kinetische Energie wieder zu potenzieller Energie und sie werden langsamer.

Ist die Reibung klein genug, um sie zu vernachlässigen, bleibt die Summe gleich: KE + PE am Start ist gleich KE + PE an jedem späteren Punkt. Das ist die Erhaltung der mechanischen Energie. Damit kannst du aus einer Höhe die Geschwindigkeit bestimmen, ohne die Form der Strecke zu kennen.

Ein Rechenbeispiel aus OpenStax

Ein Achterbahnwagen startet aus der Ruhe auf einem 20.0 m hohen Hügel. Unten ist die gesamte potenzielle Energie in kinetische Energie umgewandelt: m g h = ½ m v². Die Masse steht auf beiden Seiten und kürzt sich heraus. Es bleibt v = √(2 g h) = √(2 × 9.8 × 20.0) = 19.8 m/s, also etwa 71 km/h. Ein voller und ein leerer Zug erreichen dieselbe Geschwindigkeit, genauso wie ein schwerer und ein leichter Stein bei geringem Luftwiderstand gemeinsam fallen.

Fährt der Wagen bereits mit 5.00 m/s über den höchsten Punkt, kommt seine anfängliche kinetische Energie hinzu: Aus ½ v² = ½ v₀² + g h folgt v = √(5.00² + 2 × 9.8 × 20.0) = 20.4 m/s. Das ist schneller als zuvor, aber nur um 0.6 m/s und damit deutlich weniger als die 5 m/s Startgeschwindigkeit. Da sich Energien addieren und die Geschwindigkeit aus einer Quadratwurzel folgt, bringt ein schnellerer Start weniger, als du vielleicht vermutest.

Reibung wandelt Energie in Wärme um

Bei echten Schienen und Rädern tritt Reibung auf, und auch die Luft bremst. Diese Kräfte verrichten negative Arbeit. Die mechanische Energie KE + PE nimmt deshalb allmählich ab. Die Energie wird nicht vernichtet, sondern in thermische Energie der Räder, Schienen und Luft umgewandelt. Der allgemeine Energieerhaltungssatz geht weiterhin auf: KE + PE + Wärme bleibt gleich. Im Experiment wird die Reibung durch eine Gleitreibungszahl μ beschrieben. Die Wärme entspricht μ m g mal der zurückgelegten horizontalen Strecke.

Erhöhe die Reibung und beobachte die gestrichelte Linie. Sie zeigt den höchsten Punkt, den der Wagen noch erreichen könnte. Mit jedem Meter Strecke sinkt sie. Bei μ = 0.05 überquert der Wagen aus 20 m Starthöhe den 14 m hohen Hügel, schafft aber den 18 m hohen nicht. Er rollt hin und her, bis die Reibung ihn in einer Senke zum Stillstand bringt. Deshalb ist der erste Hügel einer Achterbahn der höchste: Jeder weitere Hügel muss mit der verbleibenden Energie erreichbar sein.

Du kannst den Wärmebalken im Experiment vorhersagen. Bei μ = 0.02 entstehen pro Meter horizontaler Strecke 0.02 × m × g an Wärme. Nach 130 m Strecke hat der Wagen daher unabhängig von seiner Masse eine Energie verloren, die 0.02 × 130 = 2.6 m Höhe entspricht. Der Reibungsregler im Experiment ist ein Modell. Echte Achterbahnen verlieren Energie durch Reibung an den Rädern und durch Luftwiderstand. Da der Luftwiderstand mit der Geschwindigkeit wächst, ist der Verlust nicht auf jedem Meter gleich. Die Bilanz bleibt aber dieselbe: Was der mechanischen Energie verloren geht, erscheint als Wärme.

Wirkungsgrad

Bei Maschinen gilt dieselbe Bilanz. Die nutzbare abgegebene Energie ist immer kleiner als die zugeführte Energie. Ihr Verhältnis heißt Wirkungsgrad: abgegebene Nutzarbeit ÷ gesamte zugeführte Energie. OpenStax nennt typische Werte. Ein Elektromotor erreicht etwa 98 Prozent, ein Benzinmotor etwa 30 Prozent, ein Kohlekraftwerk etwa 42 Prozent und eine Solarzelle etwa 10 Prozent. Der menschliche Körper schafft beim Radfahren oder Klettern etwa 20 Prozent, beim Schwimmen an der Oberfläche aber nur etwa 2 Prozent.