중력과 무게

질량 70 kg인 사람의 무게는 지구에서 약 687 N, 화성에서 260 N, 달에서 113 N입니다. 질량은 어디서나 같습니다.

질량과 무게는 다릅니다

일상에서 쓰는 말로는 「무게」와 「질량」을 같은 것처럼 쓰지만, 물리에서는 이 둘을 따로 구분합니다. 킬로그램으로 재는 질량은 어떤 물체에 들어 있는 물질의 양이고, 동시에 그 물체가 운동이 바뀌는 것을 얼마나 세게 버티는지를 나타냅니다. 질량은 지구에서도, 달에서도, 우주에서도 똑같습니다. 무게는 그 질량에 작용하는 중력이며, 뉴턴으로 잽니다. 식으로 쓰면 W = m g입니다. 예를 들어 70 kg 우주비행사의 무게는 지구에서 70 × 9.81 ≈ 687 N이고, 달에서는 70 × 1.62 ≈ 113 N, 화성에서는 70 × 3.71 ≈ 260 N입니다. 우리가 쓰는 체중계는 사실 힘을 잰 다음, 그 값을 9.8로 나누어 kg으로 보여 주는 것입니다. 그래서 똑같은 체중계를 달에 가져가면, 80 kg인 사람의 몸무게가 약 13 kg으로 나옵니다.

만유인력

뉴턴이 『프린키피아』에서 내디딘 큰 걸음은, 사과를 땅으로 끌어당기는 힘과 달을 궤도에 붙잡아 두는 힘이 같은 힘이라고 말한 것이었습니다. 우주의 모든 질량은 다른 모든 질량을 F = G m₁ m₂ ÷ r²의 힘으로 끌어당깁니다. 여기서 r은 두 물체의 중심 사이의 거리입니다. G는 아주 작은 상수로, NIST 목록에서는 그 값이 약 6.674 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²입니다. G가 이렇게 매우 작기 때문에, 두 사람 사이에 작용하는 인력은 알아챌 수 없을 만큼 약합니다. 그래서 우리가 느끼는 무게만큼의 힘을 만들어 내려면 행성만 한 크기의 질량이 있어야 합니다.

이 힘을 여러분 자신의 질량으로 다시 나누면, 행성 표면의 중력 가속도를 얻습니다. g = G M ÷ R². 예를 들어 NASA의 자료표에는 지구의 G M이 3.986 × 10¹⁴ m³/s², 평균 반지름이 6,371 km로 나와 있고, 이 값을 넣어 계산하면 g ≈ 9.82 m/s²입니다. 달의 값으로 똑같은 계산을 하면 1.62 m/s²가 나오는데, 이것은 실제로 잰 값과 맞습니다. 화성으로 계산한 값은 NASA가 적어 둔 적도의 값 3.69 m/s²과 극의 값 3.73 m/s² 사이에 들어갑니다. 이 과정에서는 화성에 3.71을 씁니다.

g가 장소마다 다른 까닭

공식에 있는 r²은 행성의 중심에서 멀어질수록 중력이 약해진다는 뜻입니다. 지구는 살짝 납작한 모양이고 스스로 돌고 있습니다. 그래서 적도에 있는 사람은 지구 중심에서 조금 더 멀리 있고, 동시에 큰 원을 그리며 지구와 함께 돌고 있습니다. 이 두 효과는 모두 우리가 느끼는 중력을 줄입니다. 그래서 NASA 자료에는 적도에서 약 9.78 m/s², 극에서 9.83 m/s²으로 나와 있습니다. 일상의 문제를 풀 때는 과학자들이 합의한 표준값 9.80665 m/s²에 가까운 9.81 m/s²을 씁니다.

우주정거장이 궤도를 도는 수백 km 높이에서도 중력은 여전히 강합니다. 지표면에서 400 km 위라면 공식으로 약 8.7 m/s², 지표면 값의 90% 가까이 되는 값이 나옵니다. 우주비행사가 둥둥 떠다니는 것은 중력이 없어서가 아닙니다. 우주비행사와 정거장이 함께 지구 둘레를 돌며 계속 떨어지고 있기 때문입니다. 끝나지 않고 영원히 이어지는 자유 낙하입니다.

중력이 약해지면 바뀌는 것은 체중계에 찍히는 숫자만이 아닙니다. 여러분이 지구에서 0.5 m 높이로 뛰어오를 수 있다고 해 봅시다. 만약 달에서도 여러분의 다리가 똑같은 처음 속력을 내 준다면, 뛰어오르는 높이는 두 g 값의 비만큼 커져서 0.5 × 9.81 ÷ 1.62 ≈ 3.0 m가 됩니다. 화성에서라면 약 1.3 m가 됩니다. 실제 우주복은 무겁고 뻣뻣해서 우주비행사가 그렇게 높이 뛴 적은 한 번도 없습니다. 하지만 이 계산을 보면 달에서는 모든 일이 느리게 일어나는 것처럼 보이는 까닭을 알 수 있습니다. 물체가 떨어지는 데 더 오래 걸리고, 던진 물체는 더 멀리 날아갑니다. 운동 실험실에서 본 그대로입니다.