진자

길이 99.4 cm인 진자는 한 번 왕복하는 데 2초, 한쪽으로 1초가 걸립니다.

실에 매단 추

단진자(simple pendulum)는 가벼운 실 끝에 작고 무거운 추를 매단 것입니다. 추를 옆으로 당겼다가 놓으면 추는 앞뒤로 왔다 갔다 흔들립니다. 저쪽으로 갔다가 다시 돌아오는 한 번의 온전한 왕복에 걸리는 시간을 주기(period)라고 부릅니다. 추에는 두 가지 힘이 작용합니다. 하나는 추를 아래로 당기는 무게이고, 다른 하나는 추를 받침점 쪽으로 당기는 실의 장력입니다. 장력은 실을 따라 작용하며, 원호의 접선 방향 성분은 없습니다. 무게의 접선 방향 성분 m g sin θ가 추를 가장 낮은 위치로 되돌립니다. 이렇게 추를 되돌리는 복원력이 진자를 계속 흔들리게 하는 힘입니다.

주기 공식

OpenStax는 진자가 작게 흔들릴 때의 주기를 T = 2π√(L ÷ g)로 유도합니다. 이 식에는 단 두 가지만 나옵니다. 진자의 길이 L과 중력 가속도 g입니다. 추의 질량은 식에 없습니다. 그래서 길이가 같다면 무거운 추와 가벼운 추가 발을 맞춰 나란히 흔들립니다. 흔들리는 폭의 크기도 식에 나오지 않습니다. 다만 그 폭이 약 15°보다 작게 유지될 때에 한해서입니다. 예를 들어 지구에서 길이 1.00 m인 진자의 주기는 T = 2π√(1 ÷ 9.81) ≈ 2.006초입니다. 식에 제곱근이 있기 때문에, 진자를 4배 길게 만들어도 주기는 2배밖에 늘지 않습니다. 길이가 4 m라면 주기는 약 4.01초입니다.

이 공식을 거꾸로 뒤집으면, 원하는 어떤 주기에든 맞는 길이를 구할 수 있습니다. L = g T² ÷ 4π². 예를 들어 주기가 정확히 2초가 되게 하려면 L = 9.81 × 4 ÷ 4π² ≈ 0.994 m입니다. 이것이 초진자(seconds pendulum)입니다. 한쪽으로 한 번 갈 때마다 한 번씩 째깍거리는, 키 큰 괘종시계 안의 긴 진자가 바로 이것입니다. 똑같은 0.994 m 진자를 달에 가져가면, 한 번 흔들리는 데 약 4.9초가 걸립니다.

공식이 맞지 않는 곳

이 공식은 sin θ ≈ θ라는 근사를 쓰기 때문에 각도가 작을 때만 잘 맞습니다. 그래서 실험실은 이 공식으로 추를 움직이지 않습니다. 실험실은 운동 방정식 전체를 그대로 한 단계씩 풀고, 추가 왕복하는 시간을 초시계처럼 잽니다. 10°에서는 실험실이 잰 주기가 공식으로 구한 값보다 약 0.2% 깁니다. 30°에서는 1.7% 길고, 60°에서는 약 7.3%, 80°에서는 14% 가까이 깁니다. 이처럼 크게 흔들릴수록 진자는 느려집니다. 그래서 정밀한 진자시계는 흔들리는 폭을 작게 유지합니다.

진자로 g 재기

진자의 길이를 알고 주기를 직접 재면, g = 4π² L ÷ T²라는 식으로 g를 구할 수 있습니다. OpenStax에 실린 한 예제에서는 75.000 cm 진자의 주기가 1.7357초일 때 g ≈ 9.828 m/s²이 나옵니다. 여러분도 집에서 1 m 길이의 실에 열쇠를 매달아 해 볼 수 있습니다. 10°보다 작은 각도로 당겼다가 놓고, 10번 왕복하는 시간을 잰 다음 10으로 나눕니다. 예를 들어 10번 왕복에 20.1초가 걸렸다면 T = 2.01초이고, 여기서 구한 g는 약 9.77 m/s²입니다. 이렇게 여러 번의 왕복을 한꺼번에 재면, 초시계를 시작하고 멈출 때 생기는 오차가 줄어듭니다.