Le pendule

Un pendule de 99.4 cm de long met 2 secondes pour un aller-retour complet, une seconde dans chaque sens.

Une masse suspendue à un fil

Un pendule simple est une petite masse lourde suspendue à un fil léger. Écarte-la puis lâche-la : elle oscille. La durée d’un aller-retour complet s’appelle la période. Deux forces agissent sur la masse : son poids, dirigé vers le bas, et la tension du fil, dirigée vers le point de suspension. La tension agit suivant le fil et n’a pas de composante tangente à l’arc. La composante tangentielle du poids, m g sin θ, ramène la masse vers le point le plus bas. C’est cette force de rappel qui entretient l’oscillation du pendule.

La formule de la période

Pour les petites oscillations, OpenStax établit la période T = 2π√(L ÷ g). Seules deux grandeurs y figurent : la longueur L et la pesanteur g. La masse n’intervient pas : deux pendules de même longueur, l’un lourd et l’autre léger, oscillent au même rythme. L’amplitude n’intervient pas non plus, tant qu’elle reste inférieure à environ 15°. Sur Terre, un pendule de 1.00 m a une période T = 2π√(1 ÷ 9.81) ≈ 2.006 s. À cause de la racine carrée, multiplier la longueur par quatre ne fait que doubler la période : pour 4 m, elle vaut environ 4.01 s.

En réarrangeant la formule, tu obtiens la longueur correspondant à une période donnée : L = g T² ÷ 4π². Pour une période d’exactement 2 s, L = 9.81 × 4 ÷ 4π² ≈ 0.994 m. C’est le pendule à secondes, celui des grandes horloges qui marque une seconde à chaque passage. Sur la Lune, le même pendule de 0.994 m aurait une période d’environ 4.9 s.

Les limites de la formule

La formule utilise l’approximation sin θ ≈ θ, valable seulement pour les petits angles. Le laboratoire ne l’utilise pas pour déplacer la masse : il résout pas à pas l’équation complète du mouvement et chronomètre les oscillations. À 10°, la période mesurée dépasse d’environ 0.2 % celle de la formule. À 30°, l’écart est de 1.7 % ; à 60°, d’environ 7.3 % ; à 80°, de près de 14 %. Les grandes oscillations sont plus lentes, ce qui explique pourquoi les horloges à pendule précises gardent une faible amplitude.

Mesurer g avec un pendule

Si tu connais la longueur et mesures la période, tu peux calculer g = 4π² L ÷ T². OpenStax donne cet exemple : un pendule de 75.000 cm dont la période vaut 1.7357 s donne g ≈ 9.828 m/s². Tu peux essayer chez toi avec une clé suspendue à un fil de 1 m : écarte-la de moins de 10°, chronomètre 10 oscillations complètes et divise par 10. Si tu mesures 20.1 s pour 10 oscillations, T = 2.01 s et g ≈ 9.77 m/s². Chronométrer plusieurs oscillations réduit l’erreur liée au démarrage et à l’arrêt du chronomètre.