Маятник

Маятник длиной 99.4 cm совершает полное колебание за 2 секунды, по одной секунде в каждую сторону.

Загружается 3D-модель

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

Нажми «Отпустить». Лаборатория измеряет каждое полное колебание, как секундомер, и сравнивает средний период с 2π√(L/g). Увеличь амплитуду до 60°, и расхождение вырастет примерно до 7%.

Груз на нити

Простой маятник состоит из небольшого тяжёлого груза на лёгкой нити. Отведи его в сторону и отпусти, и он начнёт качаться туда и обратно. Время одного полного колебания, туда и обратно, называется периодом. На груз действуют две силы: сила тяжести вниз и сила натяжения нити к точке подвеса. Натяжение действует вдоль нити и не имеет составляющей по касательной к дуге. Касательная составляющая силы тяжести, m g sin θ, возвращает груз к нижнему положению. Эта возвращающая сила и поддерживает колебания маятника.

Силы, действующие на груз маятника: сила тяжести mg и натяжение нити T. Длина L, угол θ.

Формула периода

Для малых колебаний OpenStax выводит период T = 2π√(L ÷ g). В формуле есть только две величины: длина L и ускорение свободного падения g. Массы груза в ней нет, поэтому тяжёлый и лёгкий грузы на нитях одинаковой длины колеблются в такт. Размах колебаний тоже не входит в формулу, если угол не превышает примерно 15°. Для маятника длиной 1.00 m на Земле T = 2π√(1 ÷ 9.81) ≈ 2.006 s. Из-за квадратного корня увеличение длины в четыре раза удваивает период: при 4 m получается около 4.01 s.

Преобразовав формулу, получим длину для любого периода: L = g T² ÷ 4π². Для периода ровно 2 s имеем L = 9.81 × 4 ÷ 4π² ≈ 0.994 m. Это секундный маятник, длинный маятник напольных часов, совершающий один ход за секунду. На Луне полный период того же маятника длиной 0.994 m составил бы около 4.9 s.

Где формула перестаёт работать

В формуле используется приближение sin θ ≈ θ, справедливое только для малых углов. Лаборатория не двигает груз по этой формуле. Она пошагово решает полное уравнение движения и измеряет колебания, как секундомер. При 10° измеренный период примерно на 0.2% больше расчётного. При 30° он больше на 1.7%, при 60° примерно на 7.3%, а при 80° почти на 14%. Колебания с большим размахом медленнее, поэтому у точных маятниковых часов размах мал.

КонтекстПримерно в 1602 году Галилей заметил, что период маятника почти одинаков при большом и малом размахе. Это свойство называется изохронностью. Через полвека нидерландский учёный Христиан Гюйгенс использовал его для регулирования хода часов. К концу 1656 года у него уже работали маятниковые часы, которые по его заказу изготовлял местный часовщик Саломон Костер. Патент на конструкцию был получен 16 июня 1657 года. Американское физическое общество отмечает, что погрешность этих часов составляла около 15 секунд в сутки против примерно 15 минут у прежних часов с пружинным приводом. Маятниковые часы оставались самыми точными хранителями времени до 1930-х годов.

Измеряем g с помощью маятника

Зная длину и измерив период, можно вычислить g = 4π² L ÷ T². В OpenStax приведён пример: маятник длиной 75.000 cm с периодом 1.7357 s даёт g ≈ 9.828 m/s². Попробуй дома с ключом на нити длиной 1 m: отклони его менее чем на 10°, измерь время 10 полных колебаний и раздели на 10. Если 10 колебаний заняли 20.1 s, то T = 2.01 s и g ≈ 9.77 m/s². Измерение нескольких колебаний уменьшает влияние ошибки запуска и остановки секундомера.

Главное

T = 2π√(L ÷ g) для малых колебаний.
Период не зависит от массы и почти не зависит от амплитуды при углах менее примерно 15°.
Длина в четыре раза больше, период вдвое больше.
Большие колебания длятся дольше, чем предсказывает формула: примерно на 7% при 60°.

Каков период маятника длиной 1.00 m на Земле (g = 9.81), в секундах? (три знака после точки)
Каков период маятника длиной 0.25 m на Земле, в секундах? (два знака после точки)
Ты увеличил длину маятника в четыре раза. Его период станет…
- вдвое больше
- вчетверо больше
- вдвое меньше
Ты заменил груз вдвое более тяжёлым, оставив длину прежней. Период…
- удвоится
- не изменится
- уменьшится вдвое
Каков период маятника длиной 1.00 m на Луне (g = 1.62), в секундах? (два знака после точки)
Какая длина в метрах даёт период 2 s на Земле? (три знака после точки)
При амплитуде 60° настоящий период по сравнению с 2π√(L ÷ g)…
- примерно на 7% больше
- примерно на 7% меньше
- такой же
Ключ на нити длиной 1 m совершает 10 колебаний за 20.1 s. Оцени g в m/s². (два знака после точки)
Кто создал первые маятниковые часы в 1656 году?
- Галилей
- Христиан Гюйгенс
- Исаак Ньютон
Какая сила возвращает груз к нижнему положению?
- Только сила натяжения
- Составляющая силы тяжести вдоль дуги, mg sin θ
- Сопротивление воздуха

Источники курса (10)

OpenStax College Physics 2e, chapter 4 (Newton's laws)
5.1 (Friction, Table 5.1 coefficients)
5.2 (Drag)
7 (Work and energy)
16.4 (The simple pendulum, worked example 75.000 cm and 1.7357 s) (openstax.org/books/college-physics-2e)
NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s² and Newtonian constant of gravitation (physics.nist.gov/cuu/Constants)
NASA Moon and Mars Fact Sheets (surface gravity 1.62 m/s²; Mars 3.69 to 3.73 m/s²; Earth GM 0.39860 × 10⁶ km³/s², mean radius 6371 km; Earth surface acceleration 9.78 equator, 9.83 pole) (nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/)
Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687)
Galileo, Two New Sciences (1638)
American Physical Society, "Christiaan Huygens Patents the First Pendulum Clock" (aps.org/apsnews/2017/06/huygens-patents-first-pendulum-clock).

Проверено: 2026-10-17