振り子

長さ99.4 cmの振り子は、一往復に2秒、片道に一秒かかります。

糸につるしたおもり

単振り子は、軽い糸に小さく重いおもりをつるしたものです。横に引いて放すと、行ったり来たりします。一往復にかかる時間を周期といいます。おもりには、下向きの重力と、支点へ向かう糸の張力という二つの力が働きます。張力は糸に沿って働き、円弧の接線方向の成分はありません。重力の接線方向の成分m g sin θが、おもりを最下点へ引き戻します。この復元力によって、振り子は振動を続けます。

周期の式

小さな振れについて、OpenStaxは周期をT = 2π√(L ÷ g)と導いています。式に現れるのは長さLと重力加速度gの二つだけです。おもりの質量は含まれないので、長さが同じなら重いおもりも軽いおもりも同じ調子で揺れます。振れの角度も、約15°未満なら式に現れません。地球で長さ1.00 mの振り子の周期はT = 2π√(1 ÷ 9.81) ≈ 2.006 sです。平方根があるため、長さを4倍にしても周期は2倍にしかなりません。4 mなら約4.01 sです。

式を変形すると、任意の周期に必要な長さが得られます。L = g T² ÷ 4π²です。周期をちょうど2 sにするには、L = 9.81 × 4 ÷ 4π² ≈ 0.994 mです。これが秒振り子で、背の高い置き時計に使われる、片道ごとに一秒を刻む長い振り子です。同じ0.994 mの振り子を月に置くと、一往復に約4.9 sかかります。

式が成り立たなくなるところ

この式ではsin θ ≈ θという近似を使いますが、成り立つのは小さな角度だけです。実験室では、この式でおもりを動かしていません。完全な形の運動方程式を段階的に解き、ストップウォッチのように周期を測ります。10°では、測った周期は式の値より約0.2%長くなります。30°では1.7%、60°では約7.3%、80°ではほぼ14%長くなります。大きく振れるほど遅くなるため、精密な振り子時計は振れを小さく保つのです。

振り子でgを測る

長さがわかり、周期を測れば、g = 4π² L ÷ T²を求められます。OpenStaxの例では、長さ75.000 cm、周期1.7357 sの振り子から、g ≈ 9.828 m/s²が得られます。自宅でも、1 mの糸に鍵をつるして試せます。10°未満の角度から放し、10往復の時間を測って10で割りましょう。10往復で20.1 sなら、T = 2.01 s、g ≈ 9.77 m/s²です。何往復もまとめて測れば、ストップウォッチを押すタイミングによる誤差を小さくできます。