Das Pendel

Ein Pendel von 99.4 cm Länge braucht 2 Sekunden für eine volle Schwingung, eine Sekunde je Richtung.

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Zum Drehen ziehen. Zum Zoomen scrollen oder zwei Finger auseinander- oder zusammenziehen.

Drücke „Loslassen“. Das Labor misst jede volle Schwingung wie mit einer Stoppuhr und vergleicht den Mittelwert mit 2π√(L/g). Erhöhe die Amplitude auf 60°. Dann wächst der Unterschied auf etwa 7%.

Ein Gewicht an einem Faden

Ein einfaches Fadenpendel besteht aus einem kleinen, schweren Pendelkörper an einem leichten Faden. Ziehst du ihn zur Seite und lässt los, schwingt er hin und her. Die Zeit für eine volle Schwingung, hin und zurück, heißt Schwingungsdauer. Auf den Pendelkörper wirken zwei Kräfte: seine Gewichtskraft nach unten und die Seilzugkraft zum Aufhängepunkt. Die Seilzugkraft wirkt entlang des Fadens und hat keine Komponente tangential zum Kreisbogen. Die tangentiale Komponente der Gewichtskraft, m g sin θ, zieht den Pendelkörper zum tiefsten Punkt zurück. Diese rücktreibende Kraft hält die Schwingung aufrecht.

Kräfte am Pendelkörper: Gewichtskraft mg und Seilzugkraft T. Länge L, Winkel θ.

Die Formel für die Schwingungsdauer

Für kleine Auslenkungen leitet OpenStax die Schwingungsdauer T = 2π√(L ÷ g) her. Nur zwei Größen kommen darin vor: die Länge L und die Fallbeschleunigung g. Die Masse des Pendelkörpers fehlt. Ein schwerer und ein leichter Pendelkörper schwingen bei gleicher Fadenlänge also im gleichen Takt. Auch die Auslenkung kommt nicht vor, solange sie unter etwa 15° bleibt. Ein Pendel von 1.00 m Länge hat auf der Erde T = 2π√(1 ÷ 9.81) ≈ 2.006 s. Wegen der Quadratwurzel verdoppelt eine vierfache Länge die Schwingungsdauer nur: Bei 4 m sind es etwa 4.01 s.

Stellst du die Formel um, erhältst du die Länge für eine beliebige Schwingungsdauer: L = g T² ÷ 4π². Für genau 2 s ergibt sich L = 9.81 × 4 ÷ 4π² ≈ 0.994 m. Das ist das Sekundenpendel, das lange Pendel einer Standuhr, das pro Halbschwingung einmal tickt. Auf dem Mond bräuchte dasselbe Pendel von 0.994 m Länge etwa 4.9 s für eine volle Schwingung.

Wo die Formel an ihre Grenzen kommt

Die Formel verwendet die Näherung sin θ ≈ θ, die nur für kleine Winkel gut ist. Das Labor bewegt den Pendelkörper nicht nach dieser Formel. Es löst die vollständige Bewegungsgleichung Schritt für Schritt und misst die Schwingungen wie mit einer Stoppuhr. Bei 10° ist die gemessene Schwingungsdauer etwa 0.2% länger als nach der Formel. Bei 30° sind es 1.7%, bei 60° etwa 7.3% und bei 80° fast 14%. Große Schwingungen dauern länger. Deshalb halten präzise Pendeluhren ihre Auslenkung klein.

HintergrundUm 1602 bemerkte Galilei, dass ein Pendel bei großer und kleiner Auslenkung fast dieselbe Schwingungsdauer hat. Diese Eigenschaft heißt Isochronismus. Ein halbes Jahrhundert später nutzte der niederländische Wissenschaftler Christiaan Huygens sie zur Regelung einer Uhr. Ende 1656 hatte er eine funktionierende Pendeluhr. Er ließ sie vom örtlichen Uhrmacher Salomon Coster bauen und patentierte die Konstruktion am 16. Juni 1657. Laut American Physical Society wichen seine Uhren täglich etwa 15 Sekunden ab, während es bei den vorherigen federgetriebenen Uhren etwa 15 Minuten waren. Bis in die 1930er-Jahre blieben Pendeluhren die genauesten Zeitmesser.

g mit einem Pendel messen

Kennst du die Länge und misst die Schwingungsdauer, kannst du g = 4π² L ÷ T² berechnen. OpenStax nennt ein Beispiel: Ein Pendel von 75.000 cm Länge mit einer Schwingungsdauer von 1.7357 s ergibt g ≈ 9.828 m/s². Du kannst es zu Hause mit einem Schlüssel an einem 1 m langen Faden ausprobieren. Lenke ihn um weniger als 10° aus, miss die Zeit für 10 volle Schwingungen und teile durch 10. Misst du 20.1 s für 10 Schwingungen, gilt T = 2.01 s und g ≈ 9.77 m/s². Mehrere Schwingungen zu messen, verringert den Fehler beim Starten und Stoppen der Stoppuhr.

Das Wichtigste

T = 2π√(L ÷ g) für kleine Auslenkungen.
Die Schwingungsdauer hängt nicht von der Masse ab und unter etwa 15° kaum von der Amplitude.
Vierfache Länge, doppelte Schwingungsdauer.
Große Schwingungen dauern länger als nach der Formel: bei 60° etwa 7%.

Wie groß ist die Schwingungsdauer eines Pendels von 1.00 m auf der Erde (g = 9.81) in Sekunden? (drei Nachkommastellen)
Wie groß ist die Schwingungsdauer eines Pendels von 0.25 m auf der Erde in Sekunden? (zwei Nachkommastellen)
Du vervierfachst die Pendellänge. Die Schwingungsdauer wird …
- doppelt so lang
- viermal so lang
- halb so lang
Du ersetzt den Pendelkörper durch einen doppelt so schweren. Die Länge bleibt gleich. Die Schwingungsdauer …
- verdoppelt sich
- bleibt gleich
- halbiert sich
Wie groß ist die Schwingungsdauer eines Pendels von 1.00 m auf dem Mond (g = 1.62) in Sekunden? (zwei Nachkommastellen)
Welche Länge in Metern ergibt auf der Erde eine Schwingungsdauer von 2 s? (drei Nachkommastellen)
Bei einer Amplitude von 60° ist die tatsächliche Schwingungsdauer gegenüber 2π√(L ÷ g) …
- etwa 7% länger
- etwa 7% kürzer
- gleich
Ein Schlüssel an einem Faden von 1 m macht 10 Schwingungen in 20.1 s. Schätze g in m/s². (zwei Nachkommastellen)
Wer baute 1656 die erste Pendeluhr?
- Galilei
- Christiaan Huygens
- Isaac Newton
Welche Kraft zieht den Pendelkörper zum tiefsten Punkt zurück?
- Nur die Seilzugkraft
- Die Komponente der Gewichtskraft entlang des Kreisbogens, mg sin θ
- Luftwiderstand

Quellen zu diesem Kurs (10)

OpenStax College Physics 2e, chapter 4 (Newton's laws)
5.1 (Friction, Table 5.1 coefficients)
5.2 (Drag)
7 (Work and energy)
16.4 (The simple pendulum, worked example 75.000 cm and 1.7357 s) (openstax.org/books/college-physics-2e)
NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s² and Newtonian constant of gravitation (physics.nist.gov/cuu/Constants)
NASA Moon and Mars Fact Sheets (surface gravity 1.62 m/s²; Mars 3.69 to 3.73 m/s²; Earth GM 0.39860 × 10⁶ km³/s², mean radius 6371 km; Earth surface acceleration 9.78 equator, 9.83 pole) (nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/)
Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687)
Galileo, Two New Sciences (1638)
American Physical Society, "Christiaan Huygens Patents the First Pendulum Clock" (aps.org/apsnews/2017/06/huygens-patents-first-pendulum-clock).

Abgerufen: 2026-10-17