Тяготение и вес

На человека массой 70 kg действует сила тяжести около 687 N на Земле, 260 N на Марсе и 113 N на Луне. Масса везде одинакова.

Масса и вес не одно и то же

В повседневной речи «вес» и «массу» часто используют как синонимы, но в физике их различают. Масса измеряется в килограммах и характеризует количество вещества в теле и то, насколько сильно оно сопротивляется изменению движения. На Земле, Луне и в космосе она одинакова. Здесь под весом понимается сила тяжести, действующая на эту массу и измеряемая в ньютонах: W = m g. Для космонавта массой 70 kg она составляет 70 × 9.81 ≈ 687 N на Земле, 70 × 1.62 ≈ 113 N на Луне и 70 × 3.71 ≈ 260 N на Марсе. Напольные весы на самом деле измеряют силу, а затем делят её на 9.8, чтобы показать килограммы. Поэтому на Луне те же весы показали бы около 13 kg для человека массой 80 kg.

Всемирное тяготение

Важнейшая идея Ньютона в «Началах» заключалась в том, что яблоко падает на землю под действием той же силы, которая удерживает Луну на орбите. Любые две массы притягиваются с силой F = G m₁ m₂ ÷ r², где r обозначает расстояние между их центрами, а G является очень малой постоянной, примерно 6.674 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² по данным NIST. Из-за малости G притяжение между двумя людьми слишком слабо, чтобы его заметить. Для ощутимой силы тяжести нужна масса планетарного масштаба.

Раздели эту силу на свою массу, и получится ускорение свободного падения на поверхности планеты: g = G M ÷ R². В справочнике NASA для Земли указаны G M = 3.986 × 10¹⁴ m³/s² и средний радиус 6371 km, что даёт g ≈ 9.82 m/s². Такой же расчёт для Луны даёт 1.62 m/s², что совпадает с измерениями. Для Марса результат находится между значениями NASA для экватора 3.69 m/s² и полюса 3.73 m/s²; в этом курсе используется 3.71.

Почему g различается в разных местах

Знаменатель r² в формуле означает, что притяжение ослабевает с удалением от центра планеты. Земля немного сплюснута и вращается, поэтому на экваторе человек чуть дальше от центра и одновременно движется по большой окружности. Оба эффекта уменьшают ощущаемую силу тяжести: NASA указывает около 9.78 m/s² на экваторе и 9.83 m/s² на полюсах. Для обычных задач мы берём 9.81 m/s², что близко к принятому стандартному значению 9.80665 m/s².

На высоте нескольких сотен километров, где летают космические станции, тяготение всё ещё сильно. На высоте 400 km над поверхностью формула даёт около 8.7 m/s², почти 90% поверхностного значения. Космонавты парят не из-за отсутствия тяготения, а потому, что они вместе со станцией непрерывно свободно падают, двигаясь вокруг Земли.

Более слабое тяготение меняет не только показания весов. Допустим, на Земле ты можешь подпрыгнуть на 0.5 m. Если на Луне ноги сообщат тебе такую же начальную скорость, высота вырастет пропорционально отношению двух значений g: 0.5 × 9.81 ÷ 1.62 ≈ 3.0 m. На Марсе получилось бы около 1.3 m. Настоящие скафандры тяжёлые и жёсткие, поэтому космонавты так высоко не прыгали. Но расчёт показывает, почему на Луне всё выглядит замедленным: падения длятся дольше, а броски получаются дальше, как и в лаборатории движения.