Steekproefomvang en de centrale limietstelling

Het gemiddelde van 25 waarden uit een populatie met standaardafwijking 15 heeft een standaardfout van 15 ÷ √25 = 3.

Minji middelt vijf dobbelsteenworpen, driehonderd keer achter elkaar

Een verzonnen verhaal. Minji heeft een dobbelsteen en veel geduld. Ze gooit vijf keer, schrijft het gemiddelde van die worpen op en begint opnieuw. Na 300 rondes heeft ze 300 gemiddelden. Eén worp geeft elk getal van 1 tot en met 6 met gelijke kans. Ze verwacht dus dat haar gemiddelden ook gelijkmatig verspreid liggen. Dat is niet zo. Ongeveer vier van de vijf liggen tussen 2.5 en 4.5, en minder dan één op honderd ligt onder 1.5 of boven 5.5. De simulatie hieronder begint met dezelfde proef: 300 steekproeven van omvang 5. Waarom liggen de gemiddelden dichter bij elkaar, en hoeveel dichter?

Enquêtes, opiniepeilingen, kwaliteitscontroles in een fabriek en medisch onderzoek werken allemaal op dezelfde manier. Niemand meet iedereen. Je neemt een steekproef en gebruikt het steekproefgemiddelde om het gemiddelde van de hele populatie te schatten. Verschillende steekproeven geven verschillende gemiddelden. De nuttige vraag is dus hoeveel het steekproefgemiddelde van steekproef tot steekproef schommelt en hoe die schommeling afhangt van de steekproefomvang.

Eén dobbelsteen vormt een vlak verdeelde populatie met gemiddelde 3.5

Een eerlijke dobbelsteen is een ideale kleine populatie. De waarden 1 tot en met 6 zijn even waarschijnlijk, dus het gemiddelde is μ = 3.5 en de standaardafwijking σ = √(35/12), ongeveer 1.708. De vorm is vlak, helemaal niet klokvormig. Neem nu een steekproef: gooi n keer en middel de uitkomsten. Bij n = 1 is het steekproefgemiddelde één worp, dus ook vlak verdeeld. Bij n = 2 is het de som van twee dobbelstenen gedeeld door 2. Dat geeft de tentvorm uit de les over twee dobbelstenen. Bij n = 5 of 10 vormt het histogram van steekproefgemiddelden al een gladde heuvel rond 3.5. Bij grotere n wordt die smaller.

Steekproefgemiddelden liggen rond μ, met spreiding σ/√n

OpenStax formuleert de centrale limietstelling voor steekproefgemiddelden als volgt. Trek willekeurige steekproeven van omvang n uit een willekeurige populatie met gemiddelde μ en standaardafwijking σ. Bij toenemende n volgen de steekproefgemiddelden bij benadering een normale verdeling met gemiddelde μ en standaardafwijking σ/√n. Het getal σ/√n heet de standaardfout van het gemiddelde. OpenStax benadrukt iets wat je makkelijk mist: n is het aantal waarden dat je samen middelt, niet het aantal keer dat je de proef herhaalt. Meer steekproeven maken het histogram voller; grotere steekproeven maken het smaller. In Minji's proef is n gelijk aan 5, niet aan 300.

Twee gevolgen zijn in de praktijk belangrijk. Ten eerste klopt het steekproefgemiddelde gemiddeld: de gemiddelden liggen rond μ, niet erboven of eronder. Ten tweede verbetert de nauwkeurigheid alleen met de wortel van n. Voor de dobbelsteen is de standaardfout 1.708/√1 = 1.708 bij losse worpen, 1.708/√25 ≈ 0.342 bij steekproeven van 25 en 1.708/√100 ≈ 0.171 bij steekproeven van 100. Vier keer de steekproefomvang halveert de standaardfout; honderd keer de omvang deelt die door tien. OpenStax geeft zelf dit voorbeeld: een populatie met gemiddelde 90 en standaardafwijking 15, met steekproeven van omvang 25. De standaardfout is 15/√25 = 3. Een steekproefgemiddelde twee standaardfouten boven de verwachte waarde is dus 90 + 2 × 3 = 96.

Ook bij een scheve populatie vormen gemiddelden bij n = 30 een heuvel

De populatie hoeft voor de stelling niet klokvormig te zijn. Kies in de simulatie de scheve populatie, waarin kleine waarden veel voorkomen en grote zeldzaam zijn (gemiddelde 3.06). Bij n = 1 heeft het histogram een lange rechterstaart. Bij n = 30 vormen de steekproefgemiddelden een bijna symmetrische heuvel rond 3.06. Daarom kun je bij peilingen een foutmarge geven zonder de verdeling van de meningen te kennen. Bij een ja-neevraag bestaat de populatie uit 0'en en 1'en, met σ hoogstens 0.5. Bij 1000 mensen is de 95%-marge dus ongeveer 2 × 0.5/√1000 ≈ 0.032: het bekende ‘plus of min 3 procentpunten’.