Dimensione del campione e teorema del limite centrale

La media di 25 valori da una popolazione con deviazione standard 15 ha errore standard 15 ÷ √25 = 3.

Minji fa la media di cinque lanci, trecento volte

Una storia inventata. Minji ha un dado e molta pazienza. Lo lancia cinque volte, annota la media e ricomincia. Dopo 300 serie ha 300 medie. Un lancio singolo va da 1 a 6 con uguale probabilità, quindi si aspetta medie distribuite altrettanto uniformemente. Non è così. Circa quattro su cinque cadono tra 2.5 e 4.5, e meno di una su cento è sotto 1.5 o sopra 5.5. Il laboratorio parte dallo stesso esperimento, 300 campioni di dimensione 5. Perché le medie si concentrano, e quanto?

Indagini, sondaggi, controlli di qualità e sperimentazioni cliniche funzionano allo stesso modo. Non si misura ogni persona o oggetto: si prende un campione e si usa la sua media per stimare quella della popolazione. Campioni diversi danno medie diverse. La domanda utile è quanto oscilla la media da un campione all'altro e come ciò dipende dalla dimensione del campione.

Un dado è una popolazione uniforme con media 3.5

Un dado equilibrato è una piccola popolazione ideale. I valori da 1 a 6 sono equiprobabili: media μ = 3.5 e deviazione standard σ = √(35/12), circa 1.708. La forma è piatta, non a campana. Ora estrai un campione: lancia n volte e fai la media. Con n = 1 è un singolo lancio, quindi ancora piatta. Con n = 2 è la somma di due dadi divisa per 2, con la forma a tenda già vista. Con n = 5 o 10 l'istogramma delle medie è già una collina regolare intorno a 3.5, che si restringe al crescere di n.

Le medie si concentrano intorno a μ, con dispersione σ/√n

OpenStax enuncia così il teorema del limite centrale per le medie: estrai campioni casuali di dimensione n da una popolazione con media μ e deviazione standard σ. Al crescere di n, le medie campionarie tendono a seguire una distribuzione normale con media μ e deviazione standard σ/√n. Quest'ultimo numero è l'errore standard della media. OpenStax sottolinea un punto facile da perdere: n è il numero di valori mediati insieme, non le ripetizioni dell'esperimento. Più campioni riempiono l'istogramma; campioni più grandi lo restringono. Nell'esperimento di Minji, n è 5, non 300.

Due conseguenze sono importanti. Primo: la media campionaria è corretta in media; le medie si concentrano intorno a μ, non sopra o sotto. Secondo: la precisione migliora solo con la radice di n. Per il dado, l'errore standard è 1.708/√1 = 1.708 per singoli lanci, 1.708/√25 ≈ 0.342 per campioni di 25, 1.708/√100 ≈ 0.171 per campioni di 100. Quadruplicare la dimensione dimezza l'errore; moltiplicarla per cento lo divide per dieci. Esempio OpenStax: popolazione con media 90 e deviazione standard 15, campioni di 25, errore standard 15/√25 = 3. Una media campionaria due errori standard sopra il valore atteso è 90 + 2 × 3 = 96.

Anche da una popolazione asimmetrica nasce una collina di medie con n = 30

Il teorema non richiede una popolazione a campana. Passa alla popolazione asimmetrica, con valori piccoli comuni e grandi rari (media 3.06). Con n = 1 l'istogramma ha una lunga coda destra. Con n = 30 le medie formano una collina quasi simmetrica intorno a 3.06. Per questo i sondaggi possono indicare un margine d'errore senza conoscere la distribuzione delle opinioni. Per una domanda sì/no la popolazione è fatta di 0 e 1 con σ al massimo 0.5: con 1000 persone il margine del 95% è circa 2 × 0.5/√1000 ≈ 0.032, il noto «più o meno 3 punti percentuali».