La tavola di Galton e la curva a campana

In una tavola di Galton con 10 file di pioli, una pallina cade nel contenitore centrale con probabilità 252/1024, circa 0.246.

Dove cadono le palline con 10 file di pioli?

Comincia dalla tavola qui sotto. Duecento palline hanno già attraversato 10 file di pioli. Prima di leggere, premi Lascia cadere 100 e osserva. Poi premi Aggiungi 1.000 insieme. Quale contenitore vince? Circa quale quota delle palline contiene? Annota entrambe le risposte: il resto della lezione le spiega.

Lascia cadere una pallina dall'alto di una tavola con pioli. A ogni piolo rimbalza a destra o a sinistra; dopo l'ultima fila finisce in un contenitore. Una pallina può andare ovunque. Centinaia costruiscono ogni volta la stessa forma: un mucchio al centro che scende ai lati. Il dispositivo si chiama tavola di Galton, macchina dei fagioli o quinconce: trasforma in immagine le regole delle lezioni precedenti.

Il contenitore 5 si raggiunge con 252 percorsi, lo 0 con uno

Numera i contenitori da 0 a sinistra. Una pallina che rimbalza a destra k volte su n file finisce nel contenitore k, qualunque sia l'ordine dei rimbalzi. Ogni percorso ha probabilità (1/2)ⁿ se destra e sinistra sono equiprobabili: la probabilità del contenitore k è (percorsi con k rimbalzi a destra) ÷ 2ⁿ. Con 10 file ci sono 2¹⁰ = 1024 percorsi. Solo uno raggiunge lo 0 (sempre a sinistra), ma 252 raggiungono il 5. Quindi P(contenitore 5) = 252/1024, circa 0.246, e P(contenitore 0) = 1/1024, meno di 0.001. È la quota vista nel laboratorio: quasi un quarto nel 5 e circa una pallina su mille nello 0.

I conteggi sono i numeri del triangolo di Pascal: ognuno è la somma dei due sopra, come ogni piolo è raggiungibile dai due superiori. Il numero di percorsi con k rimbalzi a destra su n si scrive C(n, k), «n su k». Con probabilità p di andare a destra invece di 1/2, ogni percorso con k destre ha probabilità pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ e P(contenitore k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. È la distribuzione binomiale, trattata nel capitolo 4 di OpenStax. Ha media n × p e deviazione standard √(n p (1 − p)). Per 10 file e p = 0.5 la media è il contenitore 5 e la deviazione standard √2.5, circa 1.58 contenitori.

Già con dieci file, il 65.6% delle palline è entro una deviazione standard

Aumentando le file, il mucchio assomiglia sempre più alla campana liscia e simmetrica della distribuzione normale. Per una campana, circa il 68% dei valori dista dalla media al massimo una deviazione standard e circa il 95% al massimo due. Con 10 file, i contenitori da 4 a 6 (entro 1.58 dal contenitore 5) raccolgono circa il 65.6% delle palline, quelli da 2 a 8 circa il 97.9%: già vicini. Il motivo è quello che rende le somme di tre dadi più arrotondate di quelle di due: molti piccoli effetti indipendenti, sommati, tendono alla campana. Imposta la probabilità di andare a destra a 0.7: il mucchio si sposta al contenitore 7 e diventa asimmetrico. La binomiale è simmetrica solo per p = 0.5.