Das Galtonbrett und die Glockenkurve

Auf einem Galtonbrett mit 10 Stiftreihen landet eine Kugel mit Wahrscheinlichkeit 252/1024, etwa 0.246, im mittleren Fach.

Wo landen die Kugeln auf einem Brett mit 10 Stiftreihen?

Beginne mit dem Brett unten. Bereits zweihundert Kugeln sind durch 10 Stiftreihen gefallen. Drücke zuerst „100 Kugeln fallen lassen“ und beobachte die neuen Kugeln. Drücke danach „1000 auf einmal hinzufügen“. Welches Fach gewinnt? Welchen Anteil aller Kugeln enthält es ungefähr? Notiere beides; die Lektion erklärt die Ergebnisse.

Lass oben auf ein mit Stiften besetztes Brett eine Kugel fallen. An jedem Stift springt sie links oder rechts und landet nach der letzten Reihe in einem Fach. Eine einzelne Kugel kann überall landen. Hunderte Kugeln bilden immer dieselbe Form: einen Hügel in der Mitte, der zu beiden Seiten abfällt. Das Gerät heißt Galtonbrett, Bohnenmaschine oder Quincunx. Es macht die Regeln der vorigen Lektionen sichtbar.

252 Wege führen in Fach 5, nur einer in Fach 0

Nummeriere die Fächer links beginnend mit 0. Springt eine Kugel bei n Reihen k-mal nach rechts, landet sie in Fach k, unabhängig von der Reihenfolge. Bei gleichen Wahrscheinlichkeiten für links und rechts hat jeder Weg die Wahrscheinlichkeit (1/2)ⁿ. Daher ist die Wahrscheinlichkeit für Fach k gleich (Anzahl der Wege mit k Rechtsbewegungen) ÷ 2ⁿ. Bei 10 Reihen gibt es 2¹⁰ = 1024 Wege. Nur einer erreicht Fach 0 (immer links), aber 252 erreichen Fach 5. Also P(Fach 5) = 252/1024, etwa 0.246, und P(Fach 0) = 1/1024, weniger als 0.001. Das hast du im Labor gesehen: knapp ein Viertel in Fach 5 und ungefähr eine von tausend Kugeln in Fach 0.

Die Wegzahlen stehen im Pascalschen Dreieck. Jede Zahl ist die Summe der beiden darüber, genauso wie jeder Stift von zwei Stiften darüber erreicht werden kann. Die Anzahl für k Rechtsbewegungen bei n Reihen heißt C(n, k), „n über k“. Ist die Wahrscheinlichkeit für rechts p statt 1/2, hat jeder Weg mit k Rechtsbewegungen die Wahrscheinlichkeit pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Somit P(Fach k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Das ist die Binomialverteilung aus OpenStax-Kapitel 4. Ihr Mittelwert ist n × p und ihre Standardabweichung √(n p (1 − p)). Bei 10 Reihen und p = 0.5 liegt der Mittelwert bei Fach 5, die Standardabweichung beträgt √2.5, etwa 1.58 Fächer.

Schon bei zehn Reihen liegen 65.6% innerhalb einer Standardabweichung

Mit mehr Reihen ähnelt der Hügel immer stärker der glatten, symmetrischen Glocke der Normalverteilung. Bei einer Glockenform liegen etwa 68% der Werte innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert, etwa 95% innerhalb zweier. Bei 10 Reihen enthalten die Fächer 4 bis 6 (Abstand höchstens 1.58 von Fach 5) etwa 65.6% der Kugeln, die Fächer 2 bis 8 etwa 97.9%. Das liegt schon nahe daran. Der Grund ist derselbe wie bei drei statt zwei Würfeln: Viele kleine unabhängige Einflüsse ergeben zusammen annähernd eine Glocke. Stelle die Wahrscheinlichkeit für rechts auf 0.7. Der Hügel wandert zu Fach 7 und wird schief: Die Binomialverteilung ist nur bei p = 0.5 symmetrisch.