Das Gesetz der großen Zahlen

John Kerrich warf während des Zweiten Weltkriegs eine Münze 10 000-mal und erhielt 5067-mal Kopf, einen Anteil von 0.5067.

Ist nach fünfmal Kopf jetzt Zahl fällig?

Fünfmal Kopf hintereinander. Jetzt muss doch Zahl kommen? Dieser verlockende Gedanke hat einen Namen: Spielerfehlschluss. Er klingt ähnlich wie das Gesetz der großen Zahlen, und genau darin liegt das Problem. Das Gesetz gilt wirklich. Es sagt aber nichts über den nächsten Wurf und funktioniert nicht durch Ausgleichen. Beginnen wir also damit, was es tatsächlich aussagt.

Wenn eine Münze mit Wahrscheinlichkeit 1/2 Kopf zeigt, warum kommt dann so oft drei- oder viermal hintereinander Kopf? Weil Wahrscheinlichkeit nicht eine Handvoll Würfe beschreibt, sondern viele Wiederholungen. Der Anteil, mit dem ein Ereignis in einer Versuchsreihe auftritt, heißt relative Häufigkeit: Anzahl ÷ Zahl der Versuche. Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit mit wachsender Versuchszahl der theoretischen Wahrscheinlichkeit annähert.

Kerrich hatte 67 Köpfe zu viel und lag nur 0.0067 daneben

Kerrichs Anteil war 5067 ÷ 10 000 = 0.5067, nur 0.0067 von 0.5 entfernt. Als absolute Anzahl waren es aber 67 Köpfe mehr als die vielleicht „erwarteten“ 5000. Dieser Teil des Gesetzes überrascht viele. Bei weiteren Würfen schrumpft der Abstand zwischen Kopfanzahl und halber Wurfzahl nicht auf null. Er schwankt und wächst oft sogar. Kleiner wird der durch die Wurfzahl geteilte Abstand. Das Gesetz der großen Zahlen überlagert das frühe Glück mit sehr vielen späteren Würfen, statt es zurückzuzahlen.

Darum ist der Spielerfehlschluss falsch. Nach fünfmal Kopf bleibt beim nächsten Wurf einer fairen Münze die Kopfwahrscheinlichkeit 1/2. Die Münze hat kein Gedächtnis und schuldet niemandem Zahl. Auf lange Sicht wird die frühe Fünferserie zu einem unmerklichen Teil Tausender Würfe.

Hundert Würfe enden meist zwischen 0.40 und 0.60

Eine nützliche Faustregel beschreibt die üblichen Schwankungen eines Anteils. Bei n Münzwürfen mit Wahrscheinlichkeit p enden etwa 95% der Reihen mit einem Anteil in p ± 2√(p(1 − p)/n). Für eine faire Münze und 100 Würfe ist das 0.5 ± 2√(0.25/100) = 0.5 ± 0.1. Alles zwischen 0.40 und 0.60 ist also gewöhnlich. Bei 10 000 Würfen gilt 0.5 ± 0.01. Kerrichs 0.5067 liegt deutlich im Bereich, etwa 1.34 Standardabweichungen über 0.5. Beachte die Wurzel: Für einen zehnmal schmaleren Bereich brauchst du hundertmal so viele Würfe.

Dieselbe Überlegung hilft bei der belgischen Euromünze von OpenStax. Bei 250 Würfen ist der 95%-Bereich einer fairen Münze 0.5 ± 2√(0.25/250) = 0.5 ± 0.063, ungefähr 0.437 bis 0.563. Die beobachteten 0.56 liegen darin, nahe am Rand. Deshalb lautet die ehrliche Schlussfolgerung „möglicherweise verzerrt, weiterwerfen“ und nicht „nachweislich unfair“.