La ley de los grandes números

John Kerrich lanzó una moneda 10 000 veces durante la Segunda Guerra Mundial y obtuvo 5067 caras: una proporción de 0.5067.

Después de cinco caras seguidas, ¿ya toca cruz?

Cinco caras seguidas. ¿Seguro que ahora tiene que salir cruz? Es tentador pensarlo, y esa sensación tiene nombre: falacia del jugador. Se parece mucho a la ley de los grandes números; ahí está el problema. La ley es real, pero no dice nada sobre el próximo lanzamiento ni funciona compensando resultados. Empecemos por lo que sí dice.

Si una moneda tiene probabilidad 1/2 de dar cara, ¿por qué salen tan a menudo tres o cuatro caras seguidas? Porque la probabilidad no describe unos pocos lanzamientos: describe lo que ocurre tras muchas repeticiones. La fracción de veces que ocurre un suceso se llama frecuencia relativa: cantidad de apariciones ÷ cantidad de ensayos. La ley de los grandes números dice que, al aumentar los ensayos, esa frecuencia tiende a acercarse cada vez más a la probabilidad teórica.

A Kerrich le sobraron 67 caras, pero solo se desvió 0.0067

La proporción de Kerrich fue 5067 ÷ 10000 = 0.5067, a solo 0.0067 de 0.5. Sin embargo, en cantidades absolutas obtuvo 67 caras más que las 5000 «esperadas». Esta parte de la ley suele sorprender. Al seguir lanzando, la diferencia entre las caras y la mitad de los lanzamientos no se reduce a cero: suele fluctuar y a menudo crece. Lo que disminuye es esa diferencia dividida entre la cantidad de lanzamientos. La ley de los grandes números diluye la suerte inicial entre muchísimos lanzamientos posteriores; no la compensa.

Por eso la falacia del jugador es una falacia. Tras cinco caras seguidas, la probabilidad de cara en el siguiente lanzamiento de una moneda equilibrada sigue siendo 1/2. La moneda no tiene memoria ni le debe una cruz a nadie. A largo plazo, esa racha inicial de cinco se vuelve insignificante entre miles de lanzamientos.

Cien lanzamientos suelen terminar entre 0.40 y 0.60

Hay una regla aproximada útil para saber cuánto suele desviarse una proporción. Con n lanzamientos y probabilidad p, aproximadamente el 95% de las series termina dentro de p ± 2√(p(1 − p)/n). Para una moneda equilibrada y 100 lanzamientos es 0.5 ± 2√(0.25/100) = 0.5 ± 0.1; cualquier proporción entre 0.40 y 0.60 es corriente. Para 10000 lanzamientos es 0.5 ± 0.01. El 0.5067 de Kerrich queda bien dentro, a unas 1.34 desviaciones estándar por encima de 0.5. Fíjate en la raíz: reducir la anchura diez veces requiere cien veces más lanzamientos.

La misma idea permite valorar la moneda belga de OpenStax. Con 250 lanzamientos, la franja del 95% para una moneda equilibrada es 0.5 ± 2√(0.25/250) = 0.5 ± 0.063, aproximadamente de 0.437 a 0.563. El 0.56 observado queda dentro, cerca del borde. Por eso la conclusión honesta es «podría estar sesgada; hay que lanzarla más», no «se ha demostrado que está sesgada».