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Dos dados y la suma de siete

Dos dados tienen 36 resultados equiprobables; 6 suman 7, más que cualquier otra suma.

Apostar por una suma de 2, 7 o 12: ¿cuál elegirías?

Antes de seguir, prueba esto. Lanzas dos dados, sumas sus valores y puedes apostar por 2, 7 o 12. ¿Cuál eliges? ¿Y cuántas veces más esperas que salga tu suma que cada una de las otras? Anota tu predicción. Es razonable pensar que las tres tienen igual probabilidad: cada una es un número entre 2 y 12. Otra intuición es que gana el 7, pero por poco. Contar resuelve la duda, y la diferencia no es pequeña.

En los juegos de mesa donde se avanza con la suma de dos dados, parece que el 7 sale constantemente. Sale mucho, y contar explica por qué. Pinta un dado rojo y el otro azul. Cada uno tiene 6 caras posibles, así que hay 6 × 6 = 36 resultados, desde (1, 1) hasta (6, 6). Los 36 son equiprobables. Las sumas no: el 2 solo se obtiene con (1, 1), pero el 7 puede salir con (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) o (6, 1).

Los 36 resultados de dos dados y sus sumas. Los números rojos del lateral corresponden al dado rojo; los azules de arriba, al azul. Las seis casillas naranjas de la diagonal son las formas de sumar 7.

Leer las diagonales da las formas de obtener cada suma: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 para las sumas de 2 a 12. En total son 36, como debe ser. Así, P(suma = 7) = 6/36 = 1/6, aproximadamente 0.167; P(suma = 2) y P(suma = 12) son solo 1/36 cada una, aproximadamente 0.028. Esa es la respuesta inicial: el 7 sale seis veces más que el 2 y seis veces más que el 12. La distribución de la suma tiene forma de tienda de campaña: sube en pasos iguales hasta 7 y baja igual después.

SumaFormasProbabilidad
211/36
322/36
433/36
544/36
655/36
766/36
855/36
944/36
1033/36
1122/36
1211/36

Veintiún pares sin orden no son equiprobables

Un error habitual es decir que 7 se obtiene con 1 y 6, 2 y 5, o 3 y 4: tres formas frente a una del 2, entre 21 pares sin orden. Esos 21 pares no son equiprobables. «3 y 4» puede ser rojo 3 y azul 4, o rojo 4 y azul 3; «2 y 2» solo puede ocurrir de una forma. Solo los 36 resultados ordenados son equiprobables y deben contarse. Aunque los dados parezcan idénticos, siguen siendo objetos separados.

ContextoA principios de los años 1600, pidieron a Galileo que explicara algo observado por jugadores que usaban tres dados. Las sumas 9 y 10 pueden formarse con seis conjuntos distintos de números; ¿por qué salía más el 10? Su breve ensayo «Sobre las investigaciones de los dados» responde igual que hicimos con dos dados. Tres números distintos, como 6, 3 y 1, pueden aparecer en seis órdenes; dos iguales, como 6, 2 y 2, en tres; tres iguales, en uno. Al sumar los órdenes, encontró 27 formas de obtener 10 y solo 25 de obtener 9, entre 216.

Los números de Galileo dan P(10) = 27/216 = 0.125 y P(9) = 25/216, aproximadamente 0.116. La diferencia ronda un lanzamiento de cada cien, así que debieron jugar mucho para notarla. Con tres dados, la suma ya no tiene forma de tienda: es más redondeada, con cimas planas en 10 y 11, parecida a la campana que verás en el tablero de Galton.

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Las barras muestran la frecuencia de cada suma; la línea fina que cruza cada barra indica la probabilidad exacta calculada con los 36 resultados. Lanza 10000 veces y las barras se ajustarán a la forma de tienda. Cambia a 3 dados para comprobar los 27 y 25 de Galileo.
Prueba: elige 3 dados, lanza 10000 veces y compara las barras de 9 y 10. Los valores exactos son 25/216 ≈ 0.116 y 27/216 = 0.125; con 10000 lanzamientos, la diferencia suele verse, aunque es pequeña.
Resultados de dos dados6 × 6 = 36 pares ordenados
P(suma = 7)6/36 = 1/6
P(suma = 2)1/36
Tres dados: formas de obtener 10 y 927 y 25 de 216 (Galileo)
  1. Dos dados. ¿Cuánto vale P(suma = 7)?
  2. Dos dados. ¿Cuánto vale P(suma = 2)?
  3. Dos dados. ¿De cuántas formas puede salir una suma de 8?
  4. Dos dados. ¿Cuánto vale P(suma de 10 o más)?
  5. Dos dados. ¿Cuánto vale P(dobles)?
  6. ¿Cuántos resultados equiprobables tienen tres dados?
  7. Tres dados. ¿De cuántas formas puede salir una suma de 10?
  8. Tres dados. ¿Cuánto vale P(suma = 10) en decimal?
  9. ¿Por qué no puedes considerar equiprobables los 21 pares sin orden?
    • Los dados nunca están equilibrados
    • Dos números distintos pueden salir en dos órdenes; un doble, en uno
    • En realidad hay 30 pares
    • Todas las sumas son equiprobables
  10. ¿Cuál es la suma media de dos dados equilibrados tras muchos lanzamientos?
Errores frecuentes
  • «Hay 11 sumas posibles, de 2 a 12, así que cada una tiene probabilidad 1/11 y el 2 y el 12 son tan probables como el 7». Las 11 sumas no son equiprobables; los 36 resultados ordenados sí. El 7 reúne 6 de ellos (6/36); el 2 y el 12, uno cada uno (1/36). Por eso el 7 es seis veces más probable que cualquiera de los otros dos, y 1/11 (aproximadamente 0.091) es incorrecto para todas las sumas.
  • «El 11 necesita un 5 y un 6, y el 12 dos 6; por tanto, son igual de probables». El 11 sale como (5, 6) o (6, 5), dos resultados: P(11) = 2/36. El 12 solo sale como (6, 6): P(12) = 1/36. El 11 es el doble de probable.
  • «Lanza dos dados 36 veces y el 7 saldrá 6 veces». 6 de 36 es la proporción a largo plazo, no un calendario. En 36 lanzamientos podrías ver el 7 tres veces o nueve. Solo tras muchos lanzamientos su proporción se estabiliza cerca de 1/6.
Nota para docentesEsta es la primera lección donde contar con orden o sin él da respuestas distintas. Usa dados de dos colores y construye la tabla de 6 × 6 antes de dar fórmulas. Rellenarla a mano hace visibles los seis sietes de la diagonal. El currículo coreano de secundaria básica limita el conteo a sumar o multiplicar dos cantidades y reserva permutaciones y combinaciones para secundaria superior; aquí la tabla es la herramienta adecuada. Para tres dados, 216 casillas son demasiadas: basta mostrar cómo contó Galileo los órdenes de cada conjunto.
Ideas clave
  • Dos dados: 36 resultados ordenados equiprobables.
  • Formas de obtener las sumas de 2 a 12: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1. P(7) = 1/6.
  • Cuenta resultados ordenados, aunque los dados parezcan idénticos.
  • Tres dados: 216 resultados; 27 formas de obtener 10 y 25 de obtener 9 (Galileo).
Fuentes de este curso (9)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
  • Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
  • 4.3 binomial distribution
  • 7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
  • Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
  • Kerrich story: John Kerrich, 10,000 tosses, 5,067 heads (JMP case study JMP014 by DeWayne Derryberry, jmp.com/en/academic/case-study-library/is-a-coin-fair, citing Baldi and Moore; Wikipedia "John Edmund Kerrich")
  • Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
  • Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
  • Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")

Fecha de consulta: 2026-10-17