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Due dadi e la somma sette

Due dadi hanno 36 esiti equiprobabili e 6 danno somma 7, più di qualsiasi altra somma.

Punti sulla somma 2, 7 o 12: quale scegli?

Prima di leggere, prova: lanci due dadi e li sommi; puoi puntare su 2, 7 o 12. Che cosa scegli? Quante volte più spesso ti aspetti che esca la tua somma rispetto a ciascuna delle altre? Scrivi l'ipotesi. Potresti pensare che siano equiprobabili, essendo ciascuna un numero tra 2 e 12. Oppure che vinca 7, ma di poco. Il conteggio risolve la questione: non è di poco.

Nei giochi da tavolo basati sulla somma di due dadi, 7 sembra uscire continuamente. È vero, e contare spiega perché. Colora un dado di rosso e uno di blu. Ciascuno ha 6 facce possibili, quindi ci sono 6 × 6 = 36 esiti, da (1, 1) a (6, 6). I 36 esiti sono equiprobabili. Le somme no: per 2 serve solo (1, 1), mentre 7 si ottiene con (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) o (6, 1).

I 36 esiti di due dadi con le rispettive somme. I numeri rossi sul lato indicano il dado rosso, quelli blu in alto il dado blu. Le sei caselle arancioni sulla diagonale danno 7.

Leggendo le diagonali si contano i modi per ciascuna somma: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 per le somme da 2 a 12. Sommano a 36, come devono. Quindi P(somma = 7) = 6/36 = 1/6, circa 0.167; P(somma = 2) e P(somma = 12) valgono solo 1/36 ciascuna, circa 0.028. Ecco la risposta iniziale: 7 esce sei volte più spesso di 2 e sei volte più spesso di 12. La distribuzione della somma ha forma di tenda: sale a passi uguali fino a 7, poi scende allo stesso modo.

Somma	Modi	Probabilità
2	1	1/36
3	2	2/36
4	3	3/36
5	4	4/36
6	5	5/36
7	6	6/36
8	5	5/36
9	4	4/36
10	3	3/36
11	2	2/36
12	1	1/36

Ventuno coppie non ordinate non sono equiprobabili

Un errore comune: 7 si ottiene con 1 e 6, 2 e 5, oppure 3 e 4, quindi avrebbe tre modi e 2 un solo modo, su 21 coppie non ordinate. Ma quelle 21 coppie non sono equiprobabili. «3 e 4» può essere rosso 3 e blu 4 oppure rosso 4 e blu 3; «2 e 2» ha un solo modo. Solo i 36 esiti ordinati sono equiprobabili: bisogna contare quelli. Anche se sembrano identici, i dadi restano oggetti distinti.

ContestoAll'inizio del 1600 fu chiesto a Galileo di spiegare un'osservazione di giocatori con tre dadi. Le somme 9 e 10 si ottengono entrambe con sei diversi gruppi di numeri: perché 10 usciva più spesso di 9? Nel breve scritto «Sopra le scoperte dei dadi», Galileo risponde come abbiamo fatto con due dadi. Tre numeri diversi, come 6, 3 e 1, possono uscire in sei ordini; due uguali, come 6, 2 e 2, in tre ordini; tre uguali in uno solo. Sommando, trovò 27 modi per ottenere 10 e solo 25 per 9, su 216.

I numeri di Galileo danno P(10) = 27/216 = 0.125 e P(9) = 25/216, circa 0.116. La differenza è circa un lancio su cento: i giocatori devono aver giocato molto per notarla. Con tre dadi la distribuzione della somma non è più una tenda: è più arrotondata, con massimi uguali in 10 e 11, e ricorda già la campana della tavola di Galton.

Caricamento

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Le barre mostrano la frequenza di ciascuna somma; la linea sottile su ogni barra indica la probabilità esatta dai 36 esiti. Fai 10000 lanci: le barre si avvicinano alla tenda. Passa a 3 dadi per controllare i 27 e 25 di Galileo.

Prova: scegli 3 dadi, fai 10000 lanci e confronta le barre di 9 e 10. I valori esatti sono 25/216 ≈ 0.116 e 27/216 = 0.125: con 10000 lanci la differenza è di solito visibile, ma piccola.

Esiti di due dadi	6 × 6 = 36 coppie ordinate
P(somma = 7)	6/36 = 1/6
P(somma = 2)	1/36
Tre dadi: modi per ottenere 10 e 9	27 e 25 su 216 (Galileo)

Due dadi. Quanto vale P(somma = 7)?
Due dadi. Quanto vale P(somma = 2)?
Due dadi. In quanti modi la somma può essere 8?
Due dadi. Quanto vale P(somma almeno 10)?
Due dadi. Quanto vale P(doppio)?
Quanti esiti equiprobabili hanno tre dadi?
Tre dadi. In quanti modi la somma può essere 10?
Tre dadi. Quanto vale P(somma = 10) in forma decimale?
Perché le 21 coppie non ordinate non si possono considerare equiprobabili?
- I dadi non sono mai equilibrati
- Due numeri diversi possono uscire in due ordini, un doppio in uno solo
- Le coppie sono in realtà 30
- Tutte le somme sono equiprobabili
Qual è la somma media di due dadi equilibrati su molti lanci?

Errori comuni

«Ci sono 11 somme possibili, da 2 a 12, quindi ciascuna ha probabilità 1/11 e 2 e 12 sono probabili quanto 7.» Le 11 somme non sono equiprobabili; lo sono i 36 esiti ordinati. La somma 7 ne ha 6 (6/36), mentre 2 e 12 ne hanno uno ciascuno (1/36). Quindi 7 è sei volte più probabile di ciascuna, e 1/11 (circa 0.091) è sbagliato per ogni somma.
«11 richiede un 5 e un 6, e 12 due 6, quindi 11 e 12 sono equiprobabili.» 11 esce come (5, 6) o (6, 5), due esiti: P(11) = 2/36. 12 esce solo come (6, 6): P(12) = 1/36. 11 è due volte più probabile.
«Lanciando due dadi 36 volte, 7 uscirà 6 volte.» 6 su 36 è la quota nel lungo periodo, non un programma. In 36 lanci potresti vedere 7 tre o nove volte. Solo su molti lanci la quota dei sette si stabilizza vicino a 1/6.

Nota per l'insegnanteÈ la prima lezione in cui contare con o senza ordine dà risultati diversi. Usa due dadi di colori diversi e costruisci insieme la tabella 6 × 6 prima delle formule. Compilarla a mano rende visibili i sei sette sulla diagonale. Il curricolo coreano delle medie limita il conteggio a sommare o moltiplicare due conteggi e rimanda permutazioni e combinazioni alle superiori: qui la tabella è adatta. Con tre dadi, 216 caselle sono troppe; basta mostrare come Galileo contava gli ordini di ogni gruppo.

Punti chiave

Due dadi: 36 esiti ordinati equiprobabili.
Modi per le somme da 2 a 12: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1. P(7) = 1/6.
Conta gli esiti ordinati, anche se i dadi sembrano identici.
Tre dadi: 216 esiti; 10 in 27 modi, 9 in 25 (Galileo).

Fonti di questo corso (9)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
4.3 binomial distribution
7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
Kerrich story: John Kerrich, 10,000 tosses, 5,067 heads (JMP case study JMP014 by DeWayne Derryberry, jmp.com/en/academic/case-study-library/is-a-coin-fair, citing Baldi and Moore; Wikipedia "John Edmund Kerrich")
Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")

Consultato il: 2026-10-17