Twee dobbelstenen en de som zeven

Twee dobbelstenen kunnen op 36 even waarschijnlijke manieren vallen. Bij 6 daarvan is de som 7, vaker dan bij elke andere som.

Inzetten op een som van 2, 7 of 12: welke kies je?

Probeer dit voordat je verder leest. Je gooit twee dobbelstenen en telt de ogen op. Je mag inzetten op een som van 2, 7 of 12. Welke kies je? En hoeveel keer zo vaak verwacht je jouw som als elk van de andere? Schrijf je voorspelling op. Je zou kunnen denken dat alle drie even waarschijnlijk zijn: het zijn immers elk afzonderlijke getallen tussen 2 en 12. Of dat 7 wint, maar met weinig verschil. Door te tellen weet je het zeker, en het verschil blijkt niet klein.

Bij bordspellen waarbij je zoveel stappen zet als de som van twee dobbelstenen lijkt het alsof 7 voortdurend valt. Dat klopt, en door te tellen zie je waarom. Maak één dobbelsteen rood en de andere blauw. De rode heeft 6 mogelijke uitkomsten en de blauwe ook. Samen zijn er dus 6 × 6 = 36 uitkomsten, van (1, 1) tot (6, 6). Elk van die 36 is even waarschijnlijk. De sommen zijn dat niet: voor een som van 2 kan alleen (1, 1), terwijl 7 kan ontstaan uit (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) of (6, 1).

Lees je het rooster diagonaal, dan vind je het aantal manieren voor elke som: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 voor de sommen 2 tot en met 12. Samen zijn dat 36, zoals het hoort. Dus P(sum = 7) = 6/36 = 1/6, ongeveer 0.167, terwijl P(sum = 2) en P(sum = 12) elk slechts 1/36 zijn, ongeveer 0.028. Dat beantwoordt de openingsvraag: 7 valt zes keer zo vaak als 2 en zes keer zo vaak als 12. De verdeling van de som heeft een tentvorm: ze stijgt in gelijke stappen tot 7 en daalt daarna in gelijke stappen.

Eenentwintig ongeordende paren zijn niet even waarschijnlijk

Een veelgemaakte fout: 7 kun je maken met 1 en 6, 2 en 5, of 3 en 4. Dat zijn drie manieren, tegenover één voor 2, uit 21 ongeordende paren. Maar die 21 paren zijn niet even waarschijnlijk. Het paar ‘3 en 4’ kan ontstaan als rood 3, blauw 4 of als rood 4, blauw 3. ‘2 en 2’ kan maar op één manier. Alleen de 36 geordende uitkomsten zijn even waarschijnlijk, dus die moet je tellen. Ook als de dobbelstenen er hetzelfde uitzien, blijven het twee afzonderlijke voorwerpen.

Met Galileo's aantallen krijg je P(10) = 27/216 = 0.125 en P(9) = 25/216, ongeveer 0.116. Het verschil is ongeveer één worp op honderd. De spelers moeten dus veel hebben gespeeld om het op te merken. Bij drie dobbelstenen is de verdeling van de som niet meer tentvormig. Ze is ronder, met vlakke toppen bij 10 en 11, en lijkt al op de klokkromme die je bij het Galtonbord tegenkomt.