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サイコロ二個と和が七になる確率

サイコロ二個の結果は同様に確からしい36通りで、そのうち6通りが和7です。どの和よりも多くなります。

和が2、7、12のどれかに賭けるなら、どれを選びますか？

先を読む前に考えましょう。サイコロを二個振り、目を足します。和が2、7、12のどれかに賭けられるなら、どれを選びますか。その和はほかのそれぞれの和に比べて何倍出ると思いますか。予想を書きます。どれも2から12までの数の一つだから同じ確率、という予想も自然です。7のほうが少しだけ多いと思うかもしれません。数えれば決着がつきますし、その差は「少し」ではありません。

サイコロ二個の和で進むボードゲームでは、いつも7が出るように感じます。実際に出やすく、数えると理由がわかります。一個を赤、もう一個を青にします。赤も青も6通りなので、組は(1, 1)から(6, 6)まで6 × 6 = 36通りです。この36通りは同様に確からしいのですが、和は違います。和2は(1, 1)だけなのに、和7は(1, 6)、(2, 5)、(3, 4)、(4, 3)、(5, 2)、(6, 1)でできます。

サイコロ二個の全36通りと、その和です。左の赤い数字が赤いサイコロ、上の青い数字が青いサイコロです。対角線上の六つのオレンジのマスが、和7になる組です。

表を斜めに読むと、和2から12までの組の数は1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1です。合計は当然36です。P(和 = 7) = 6/36 = 1/6で約0.167ですが、P(和 = 2)とP(和 = 12)はそれぞれ1/36で約0.028です。最初の問いの答えは、7は2の六倍、12の六倍出る、となります。和の分布はテント形で、7まで同じ段差で上がり、その後同じ段差で下がります。

和通り数確率
211/36
322/36
433/36
544/36
655/36
766/36
855/36
944/36
1033/36
1122/36
1211/36

順序を区別しない二十一組は、同様に確からしくありません

よくある間違いは、7は1と6、2と5、3と4の三通りで、2は一通りだから、順序を区別しない21組を数えるというものです。しかし21組は同様に確からしくありません。「3と4」は赤3・青4でも赤4・青3でも起こりますが、「2と2」は一通りだけです。同様に確からしいのは順序を区別した36通りなので、そちらを数えます。二個が同じ見た目でも、別々の物体であることは変わりません。

背景1600年代初め、ガリレオは、サイコロ三個で何度も遊ぶ人たちが気づいたことの説明を求められました。和9も和10も六種類の数の組で作れるのに、なぜ10のほうがよく出るのでしょうか。ガリレオの短い論考「サイコロの考察」は、二個の場合と同じ考えで答えます。6、3、1のようにすべて違えば順序は六通り、6、2、2のように二つが同じなら三通り、すべて同じなら一通りです。順序を足すと、216通りのうち和10は27通り、和9は25通りでした。

ガリレオの数から、P(10) = 27/216 = 0.125、P(9) = 25/216で約0.116です。差は約百回に一回分なので、気づくにはかなり遊んだはずです。三個では和の分布はテント形ではなく、10と11を平らな頂点とする丸い形になります。後でゴルトンボードで見る釣鐘型に、すでに似ています。

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棒は各和が出た頻度で、棒を横切る細い線は36通りから求めた正確な確率です。「10,000回振る」で棒がテント形にそろいます。「3個」に切り替え、ガリレオの27と25を確かめましょう。
試してみましょう。「3個」にして10,000回振り、9と10の棒を比べます。正確な値は25/216 ≈ 0.116と27/216 = 0.125なので、10,000回では差は小さいものの、たいてい見えます。
サイコロ二個の結果順序を区別した6 × 6 = 36組
P(和 = 7)6/36 = 1/6
P(和 = 2)1/36
サイコロ三個で和10と和9になる通り数216通り中27通りと25通り（ガリレオ）
  1. サイコロ二個で、P(和 = 7)はいくつですか？
  2. サイコロ二個で、P(和 = 2)はいくつですか？
  3. サイコロ二個で、和8になるのは何通りですか？
  4. サイコロ二個で、P(和が10以上)はいくつですか？
  5. サイコロ二個で、P(ぞろ目)はいくつですか？
  6. サイコロ三個の同様に確からしい結果は何通りですか？
  7. サイコロ三個で、和10になるのは何通りですか？
  8. サイコロ三個で、P(和 = 10)を小数で表すといくつですか？
  9. 順序を区別しない21組を同様に確からしいとして数えられないのはなぜですか？
    • サイコロに偏りがないことはありえないからです
    • 異なる目の組は二つの順序で出ますが、ぞろ目は一通りだからです
    • 実際には30組あるからです
    • 和はすべて同じ確率だからです
  10. 偏りのないサイコロ二個を何度も振ると、和の平均はいくつになりますか？
よくある間違い
  • 「和は2から12まで11通りなので、それぞれの確率は1/11で、2や12も7と同じくらい出ます」 11種類の和は同様に確からしくありません。同様に確からしいのは順序を区別した36通りです。和7には6通り（6/36）、2と12にはそれぞれ一通り（1/36）があります。したがって7はそれぞれの六倍出やすく、1/11（約0.091）はどの和についても誤りです。
  • 「11には5と6が必要で、12には6が二つ必要なので、11と12は同じ確率です」 11は(5, 6)か(6, 5)の二通りなので、P(11) = 2/36です。12は(6, 6)だけなので、P(12) = 1/36です。11は二倍出やすくなります。
  • 「サイコロ二個を36回振れば、7は6回出ます」 36回中6回は長期の割合であって、予定表ではありません。36回で7が三回や九回出ることもあります。多数回振って初めて、七の割合が1/6に近づきます。
先生からひとこと順序を区別するかどうかで答えが変わる最初の授業です。色の違うサイコロを使うか色を塗り、公式に進む前に6 × 6の表を一緒に作りましょう。手で埋めると、対角線上の六つの七が見えます。韓国の中学校では、場合の数は二つの個数の和や積までで、順列と組合せは高校で学びます。そのため、ここでは表が適切です。三個では216マスと多すぎるので、ガリレオが各組の順序をどう数えたかを示せば十分です。
ポイント
  • サイコロ二個には、順序を区別した同様に確からしい36通りがあります。
  • 和2から12までの通り数は1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1です。P(7) = 1/6です。
  • 見た目が同じサイコロでも、順序を区別して数えます。
  • 三個では216通りで、和10は27通り、和9は25通りです（ガリレオ）。
このコースの出典 (9)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
  • Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
  • 4.3 binomial distribution
  • 7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
  • Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
  • Kerrich story: John Kerrich, 10,000 tosses, 5,067 heads (JMP case study JMP014 by DeWayne Derryberry, jmp.com/en/academic/case-study-library/is-a-coin-fair, citing Baldi and Moore; Wikipedia "John Edmund Kerrich")
  • Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
  • Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
  • Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")

確認日: 2026-10-17