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Deux dés et la somme de sept

Deux dés ont 36 issues équiprobables, dont 6 donnent une somme de 7, plus que toute autre somme.

Parier sur une somme de 2, 7 ou 12 : que choisirais-tu ?

Avant de poursuivre, essaie ceci. Tu lances deux dés, tu les additionnes et tu peux parier sur une somme de 2, 7 ou 12. Laquelle choisis-tu ? Combien de fois plus souvent penses-tu qu'elle sortira que chacune des autres ? Note ton intuition. On peut sincèrement croire que les trois sont équiprobables, puisque chacune n'est qu'un nombre entre 2 et 12. Ou penser que 7 gagne, mais de peu. Le dénombrement tranche, et l'écart est loin d'être petit.

Dans les jeux de plateau où l'on avance selon la somme de deux dés, on a l'impression que 7 revient sans cesse. C'est bien le cas, et compter explique pourquoi. Colore un dé en rouge et l'autre en bleu. Chacun a 6 faces possibles, donc la paire a 6 × 6 = 36 issues, de (1, 1) à (6, 6). Ces 36 issues sont équiprobables. Les sommes ne le sont pas : une somme de 2 exige (1, 1), tandis qu'une somme de 7 peut venir de (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) ou (6, 1).

Les 36 issues de deux dés avec leurs sommes. Les nombres rouges sur le côté correspondent au dé rouge, les nombres bleus en haut au dé bleu. Les six cases orange de la diagonale donnent les façons d'obtenir 7.

En lisant les diagonales du tableau, on obtient les nombres de façons de réaliser chaque somme : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 pour les sommes de 2 à 12. Leur total est bien 36. Ainsi, P(somme = 7) = 6/36 = 1/6, soit environ 0.167, tandis que P(somme = 2) et P(somme = 12) valent seulement 1/36 chacune, soit environ 0.028. Voilà la réponse à la question initiale : 7 sort six fois plus souvent que 2 et six fois plus souvent que 12. La distribution de la somme forme un toit : elle monte régulièrement jusqu'à 7, puis redescend au même rythme.

Somme	Façons	Probabilités
2	1	1/36
3	2	2/36
4	3	3/36
5	4	4/36
6	5	5/36
7	6	6/36
8	5	5/36
9	4	4/36
10	3	3/36
11	2	2/36
12	1	1/36

Les vingt et une paires non ordonnées ne sont pas équiprobables

Une erreur fréquente consiste à dire que 7 s'obtient avec 1 et 6, 2 et 5, ou 3 et 4, soit trois façons, contre une pour 2, parmi 21 paires non ordonnées. Mais ces 21 paires ne sont pas équiprobables. La paire « 3 et 4 » peut venir de rouge 3, bleu 4 ou de rouge 4, bleu 3, alors que « 2 et 2 » n'arrive que d'une façon. Seules les 36 issues ordonnées sont équiprobables : ce sont elles qu'il faut compter. Même si les dés se ressemblent, ils restent deux objets distincts.

ContexteAu début des années 1600, on a demandé à Galilée d'expliquer une observation faite par des joueurs sur de nombreuses parties à trois dés. Les sommes 9 et 10 peuvent chacune être obtenues avec six ensembles de nombres différents ; pourquoi 10 apparaissait-il plus souvent que 9 ? Dans son bref essai sur le jeu de dés, Galilée répond exactement comme nous l'avons fait avec deux dés. Trois nombres différents, comme 6, 3 et 1, peuvent apparaître dans six ordres ; deux nombres égaux, comme 6, 2 et 2, dans trois ordres ; trois nombres égaux, dans un seul. En additionnant les ordres, il trouve 27 façons d'obtenir 10 et seulement 25 d'obtenir 9, sur 216.

Les nombres de Galilée donnent P(10) = 27/216 = 0.125 et P(9) = 25/216, soit environ 0.116. L'écart représente à peu près un lancer sur cent : les joueurs ont donc dû beaucoup jouer pour le remarquer. Avec trois dés, la distribution de la somme n'a plus une forme de toit. Elle s'arrondit, avec un sommet plat à 10 et 11, et ressemble déjà à la courbe en cloche que tu rencontreras avec la planche de Galton.

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Les barres indiquent la fréquence de chaque somme ; le trait fin sur chacune représente la probabilité exacte calculée à partir des 36 issues. Lance les dés 10 000 fois : les barres se rapprochent du toit. Passe à 3 dés pour vérifier les 27 et 25 de Galilée.

À toi : choisis 3 dés, lance-les 10 000 fois et compare les barres de 9 et 10. Les valeurs exactes sont 25/216 ≈ 0.116 et 27/216 = 0.125. Sur 10 000 lancers, l'écart est généralement visible, mais faible.

Issues pour deux dés	6 × 6 = 36 couples ordonnés
P(somme = 7)	6/36 = 1/6
P(somme = 2)	1/36
Trois dés : façons d'obtenir 10 et 9	27 et 25 sur 216 (Galilée)

Deux dés. Quelle est P(somme = 7) ?
Deux dés. Quelle est P(somme = 2) ?
Deux dés. De combien de façons peut-on obtenir une somme de 8 ?
Deux dés. Quelle est P(somme supérieure ou égale à 10) ?
Deux dés. Quelle est P(double) ?
Combien d'issues équiprobables trois dés possèdent-ils ?
Trois dés. De combien de façons peut-on obtenir une somme de 10 ?
Trois dés. Quelle est P(somme = 10) en écriture décimale ?
Pourquoi ne peut-on pas considérer les 21 paires non ordonnées comme équiprobables ?
- Les dés ne sont jamais équilibrés
- Une paire de nombres différents peut apparaître dans deux ordres, un double dans un seul
- Il y a en réalité 30 paires
- Toutes les sommes sont équiprobables
Quelle est la somme moyenne de deux dés équilibrés sur de nombreux lancers ?

Erreurs fréquentes

« Il y a 11 sommes possibles, de 2 à 12 : chacune a donc une probabilité de 1/11, et 2 et 12 sont aussi probables que 7. » Les 11 sommes ne sont pas équiprobables ; les 36 issues ordonnées le sont. Une somme de 7 correspond à 6 issues (6/36), contre une pour 2 et pour 12 (1/36). Ainsi, 7 est six fois plus probable que chacune, et 1/11, soit environ 0.091, ne convient à aucune somme.
« Pour 11, il faut un 5 et un 6 ; pour 12, deux 6. Donc 11 et 12 sont équiprobables. » 11 s'obtient par (5, 6) ou par (6, 5), soit deux issues : P(11) = 2/36. 12 ne s'obtient que par (6, 6), donc P(12) = 1/36. 11 est deux fois plus probable.
« En lançant deux dés 36 fois, on obtiendra 7 exactement 6 fois. » 6 sur 36 est une proportion à long terme, pas un calendrier. En 36 lancers, tu peux obtenir 7 trois fois ou neuf fois. Ce n'est que sur de nombreux lancers que la proportion de sept se stabilise près de 1/6.

Note du professeurC'est la première leçon où compter avec ou sans ordre donne des résultats différents. Utilise deux dés de couleurs différentes, ou colore-les, puis construisez ensemble le tableau 6 × 6 avant toute formule. Le remplir à la main rend visibles les six sept sur la diagonale. Le programme coréen du collège limite le dénombrement à l'addition ou à la multiplication de deux effectifs et réserve permutations et combinaisons au lycée : le tableau convient donc à ce stade. Avec trois dés, 216 cases seraient trop nombreuses ; montrer comment Galilée comptait les ordres de chaque ensemble suffit.

L'essentiel

Deux dés : 36 issues ordonnées équiprobables.
Façons d'obtenir les sommes de 2 à 12 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1. P(7) = 1/6.
Compte les issues ordonnées, même si les dés se ressemblent.
Trois dés : 216 issues ; 27 façons d'obtenir 10, 25 d'obtenir 9 (Galilée).

Sources de ce cours (9)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
4.3 binomial distribution
7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
Kerrich story: John Kerrich, 10,000 tosses, 5,067 heads (JMP case study JMP014 by DeWayne Derryberry, jmp.com/en/academic/case-study-library/is-a-coin-fair, citing Baldi and Moore; Wikipedia "John Edmund Kerrich")
Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")

Consulté le: 2026-10-17