Issues, événements et probabilités

Un dé équilibré a six faces : la probabilité d'obtenir au moins cinq est donc de 2 sur 6, soit environ 0.333.

La météo annonce 30% de probabilité de pluie demain. Ce chiffre est fictif, mais tu en as déjà entendu de semblables. Il ne dit pas si tu seras mouillé. Il dit quelque chose de moins certain, mais d'utile : la pluie est possible, et moins probable que son absence. Le bus sera-t-il en retard ? Le prochain lancer franc sera-t-il réussi ? On ne peut pas le savoir avec certitude, sans pour autant ne rien savoir du tout. La probabilité est le nombre qui décrit cette situation intermédiaire. Elle va de 0 à 1. Une probabilité de 0 signifie que l'événement ne peut jamais se produire, 1 qu'il se produit toujours, et 0.5 qu'il a autant de chances de se produire que de ne pas se produire.

Un dé a six issues ; « au moins cinq » en regroupe deux

Les ouvrages de statistique utilisent quelques mots dont il faut bien connaître le sens. Une expérience aléatoire est une action au résultat incertain, comme lancer une pièce ou un dé. Chaque résultat possible est une issue. L'ensemble de toutes les issues possibles est l'univers, noté S. Pour une pièce, S = {H, T}. Pour un dé, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Un événement est un ensemble d'issues qui nous intéresse, désigné par une majuscule. « Obtenir au moins cinq » est l'événement E = {5, 6}.

Pierre, feuille, ciseaux fournit un autre bon exemple. Deux joueurs choisissent chacun l'un des trois gestes : l'univers comprend donc 3 × 3 = 9 issues, de (pierre, pierre) à (ciseaux, ciseaux). Trois sont des égalités : deux pierres, deux feuilles, deux ciseaux. Si les deux joueurs choisissent au hasard, les neuf issues sont équiprobables et P(égalité) = 3/9 = 1/3. Que les vrais joueurs choisissent au hasard est une autre question. La règle de dénombrement ci-dessous repose précisément sur cette hypothèse.

Quand toutes les issues de l'univers sont équiprobables, calculer une probabilité revient à compter : P(A) = (nombre d'issues de A) ÷ (nombre d'issues de S). Pour le dé, P(E) = 2 ÷ 6 = 1/3, soit environ 0.333. OpenStax prend une pièce de dix cents et une de cinq cents : l'univers est {HH, HT, TH, TT}, soit quatre issues. L'événement « exactement un pile » contient HT et TH ; sa probabilité vaut donc 2/4 = 0.5. Remarque que HT et TH sont des issues différentes. Les deux pièces sont distinctes : suivre le résultat de chacune permet d'obtenir quatre issues équiprobables.

Lance une pièce, puis une autre : l'arbre gagne un niveau

Tu peux dresser une liste d'issues, tracer un arbre de probabilités ou dessiner un diagramme de Venn. Les listes conviennent aux petites expériences. Les arbres sont utiles quand l'expérience se déroule par étapes, comme le lancer d'une pièce puis d'une autre : chaque étape ajoute un niveau de branches, et un chemin de la racine à une extrémité donne une issue. Les diagrammes de Venn montrent surtout comment des événements se recoupent, ce que nous verrons dans une leçon sur OU et ET.

La règle de dénombrement exige des issues équiprobables, mais les objets réels ne respectent pas toujours cette condition. OpenStax rapporte que des élèves ayant testé une pièce belge d'un euro ont obtenu pile dans 56% des 250 essais. Un dé dont les points sont creusés peut favoriser légèrement certaines faces ; c'est pourquoi les dés de casino ont des points remplis d'une peinture de même densité que le cube. Quand les issues ne sont pas équiprobables, il faut estimer la probabilité par l'expérience à long terme plutôt que par dénombrement. La prochaine leçon précise ce que signifie « à long terme ».