La planche de Galton et la courbe en cloche

Sur une planche de Galton à 10 rangées de clous, une bille atteint la case centrale avec une probabilité de 252/1024, soit environ 0.246.

Où arrivent les billes avec 10 rangées de clous ?

Commence par la planche ci-dessous. Deux cents billes ont déjà traversé 10 rangées de clous. Avant de lire la suite, appuie sur « Lâcher 100 billes » et regarde où arrivent les nouvelles billes. Puis appuie sur « Ajouter 1000 d'un coup ». Quelle case gagne ? Environ quelle part de toutes les billes contient-elle ? Note tes deux réponses : la suite les explique.

Lâche une bille en haut d'une planche garnie de clous. À chaque clou, elle rebondit à gauche ou à droite, puis tombe dans une case après la dernière rangée. Une bille seule peut aller partout. Des centaines dessinent chaque fois la même forme : un amas au milieu, qui diminue des deux côtés. Ce dispositif s'appelle planche de Galton, machine à haricots ou quinconce. Il transforme les règles des leçons précédentes en image.

252 chemins mènent à la case 5, un seul à la case 0

Numérote les cases à partir de 0 à gauche. Une bille qui rebondit k fois à droite sur n rangées arrive dans la case k, quel que soit l'ordre des rebonds à droite et à gauche. Chaque chemin de n rebonds a pour probabilité (1/2)ⁿ si gauche et droite sont équiprobables. La probabilité de la case k vaut donc (nombre de chemins avec k rebonds à droite) ÷ 2ⁿ. Avec 10 rangées, il existe 2¹⁰ = 1024 chemins. Un seul atteint la case 0, toujours à gauche, mais 252 atteignent la case 5. Ainsi, P(case 5) = 252/1024, soit environ 0.246, et P(case 0) = 1/1024, moins de 0.001. C'est la part vue au laboratoire : près d'un quart des billes dans la case 5 et environ une sur mille dans la case 0.

Les nombres de chemins sont ceux du triangle de Pascal : chaque nombre est la somme des deux situés au-dessus, tout comme on peut atteindre chaque clou depuis les deux clous supérieurs. Le nombre de chemins avec k rebonds à droite sur n se note C(n, k), « k parmi n ». Si la probabilité d'aller à droite est p au lieu de 1/2, chaque chemin comportant k rebonds à droite a pour probabilité pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, et P(case k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. C'est la loi binomiale, étudiée au chapitre 4 d'OpenStax. Sa moyenne est n × p et son écart-type √(n p (1 − p)). Pour 10 rangées et p = 0.5, la moyenne est la case 5 et l'écart-type √2.5, soit environ 1.58 case.

Avec dix rangées, 65.6% des billes sont déjà à moins d'un écart-type de la moyenne

Quand le nombre de rangées augmente, l'amas ressemble de plus en plus à la cloche lisse et symétrique de la loi normale. Pour une forme en cloche, environ 68% des valeurs se trouvent à moins d'un écart-type de la moyenne et environ 95% à moins de deux. Avec 10 rangées, les cases 4 à 6, à moins de 1.58 de la case 5, contiennent environ 65.6% des billes, et les cases 2 à 8 environ 97.9% : c'est déjà proche. La raison est celle qui arrondit les sommes de trois dés par rapport à deux : beaucoup de petites impulsions indépendantes s'additionnent vers une cloche. Règle la probabilité d'aller à droite sur 0.7 : l'amas se déplace vers la case 7 et devient asymétrique. La loi binomiale n'est symétrique que pour p = 0.5.