La loi des grands nombres

John Kerrich a lancé une pièce 10 000 fois pendant la Seconde Guerre mondiale et obtenu 5067 piles, soit une proportion de 0.5067.

Après cinq piles de suite, face doit-il sortir ?

Cinq piles de suite. Le prochain lancer doit bien donner face, non ? Cette idée tentante porte un nom : l'erreur du joueur. Elle ressemble beaucoup à la loi des grands nombres, d'où la confusion. Cette loi est bien réelle, mais elle ne dit rien du prochain lancer et ne rééquilibre jamais les résultats. Voyons donc ce qu'elle affirme vraiment.

Si une pièce a une chance sur 2 de donner pile, soit 1/2, pourquoi obtient-on si souvent trois ou quatre piles de suite ? Parce que la probabilité ne décrit pas une poignée de lancers, mais ce qui se passe sur de nombreuses répétitions. La proportion de fois où un événement se produit dans une série d'essais est sa fréquence relative : effectif ÷ nombre d'essais. La loi des grands nombres dit que, lorsque le nombre d'essais augmente, cette fréquence tend à se rapprocher de la probabilité théorique.

67 piles de trop, mais un écart de seulement 0.0067

La proportion de Kerrich était de 5067 ÷ 10 000 = 0.5067, à seulement 0.0067 de 0.5. Pourtant, en effectifs, il avait 67 piles de plus que les 5000 qu'on pouvait « attendre ». C'est le point qui surprend. En poursuivant les lancers, l'écart entre le nombre de piles et la moitié des lancers ne tend pas vers zéro ; il fluctue et augmente souvent. Ce qui diminue, c'est cet écart divisé par le nombre de lancers. La loi des grands nombres dilue la chance initiale dans une multitude de lancers ultérieurs ; elle ne la compense pas.

Voilà aussi pourquoi l'erreur du joueur est une erreur. Après cinq piles de suite, le prochain lancer d'une pièce équilibrée donne toujours pile avec une probabilité de 1/2. La pièce n'a pas de mémoire et ne doit une face à personne. À long terme, la série initiale de cinq devient une part imperceptible de milliers de lancers.

Cent lancers donnent généralement une proportion entre 0.40 et 0.60

Une règle pratique permet d'estimer l'écart habituel d'une proportion. Pour n lancers d'une pièce de probabilité p, environ 95% des séries se terminent avec une proportion comprise dans p ± 2√(p(1 − p)/n). Avec une pièce équilibrée et 100 lancers, cela donne 0.5 ± 2√(0.25/100) = 0.5 ± 0.1 : toute valeur entre 0.40 et 0.60 est donc ordinaire. Pour 10 000 lancers, on obtient 0.5 ± 0.01. Le résultat 0.5067 de Kerrich se situe largement dans cette bande, à environ 1.34 écart-type au-dessus de 0.5. Remarque la racine carrée : pour diviser la largeur par dix, il faut cent fois plus de lancers.

La même idée permet à OpenStax d'évaluer l'euro belge. Pour 250 lancers, la bande à 95% d'une pièce équilibrée est 0.5 ± 2√(0.25/250) = 0.5 ± 0.063, soit environ de 0.437 à 0.563. La proportion observée, 0.56, reste dedans, près du bord. La conclusion honnête est donc « peut-être biaisée, poursuivons les lancers », et non « déséquilibre prouvé ».