Hukum bilangan besar

John Kerrich melempar koin 10 000 kali selama Perang Dunia Kedua dan mendapat 5067 sisi kepala, dengan proporsi 0.5067.

Setelah lima sisi kepala berturut-turut, apakah sisi ekor harus muncul?

Lima sisi kepala berturut-turut. Bukankah berikutnya pasti sisi ekor? Kita mudah berpikir begitu, dan perasaan ini punya nama: kekeliruan penjudi. Kedengarannya mirip hukum bilangan besar, dan itulah masalahnya. Hukumnya benar, tetapi tidak menyatakan apa pun tentang lemparan berikutnya dan tidak bekerja dengan menyeimbangkan hasil. Mulailah dari apa yang sebenarnya dikatakan hukum itu.

Jika peluang sisi kepala 1/2, mengapa koin sering menghasilkan sisi kepala tiga atau empat kali berturut-turut? Karena peluang tidak menggambarkan segelintir lemparan, melainkan banyak pengulangan. Bagian percobaan yang menghasilkan suatu kejadian disebut frekuensi relatifnya: frekuensi ÷ banyak percobaan. Hukum bilangan besar menyatakan bahwa saat banyak percobaan bertambah, frekuensi relatif cenderung semakin mendekati peluang teoretis.

Latar belakangJohn Kerrich adalah matematikawan yang sedang berada di Kopenhagen ketika Jerman menyerbu Denmark pada 1940; ia menghabiskan sisa perang di kamp interniran. Dengan banyak waktu dan sesama tahanan, Eric Christensen, ia menjalankan percobaan peluang. Yang paling terkenal adalah koin yang dilempar 10,000 kali, dengan jumlah kumulatif sisi kepala dicatat sepanjang percobaan. Hasil akhirnya 5,067 sisi kepala dan 4,933 sisi ekor. Mereka juga membuat koin bias dari cakram kayu yang sebagian dilapisi timbal, dan proporsi sisi kepalanya juga stabil, mendekati 70 persen. Kerrich menerbitkan hasilnya pada 1946, dan sebelum komputer membuat simulasi murah, percobaan ini menjadi contoh baku hukum bilangan besar.

Kerrich mendapat kelebihan 67 sisi kepala, tetapi hanya meleset 0.0067

Proporsi Kerrich adalah 5,067 ÷ 10,000 = 0.5067, hanya berjarak 0.0067 dari 0.5. Namun jumlah nyatanya kelebihan 67 sisi kepala dari 5,000 yang mungkin "diharapkan". Inilah bagian hukum yang mengejutkan. Saat lemparan berlanjut, selisih jumlah sisi kepala dari separuh lemparan tidak menyusut ke nol; biasanya berfluktuasi dan sering membesar. Yang menyusut adalah selisih dibagi banyak lemparan. Hukum bilangan besar bekerja dengan membuat keberuntungan awal tenggelam dalam banyak lemparan berikutnya, bukan membayarnya kembali.

Itulah sebabnya kekeliruan penjudi memang keliru. Setelah lima sisi kepala berturut-turut, peluang sisi kepala pada lemparan koin adil berikutnya tetap 1/2. Koin tidak punya ingatan dan tidak berutang sisi ekor. Dalam jangka panjang, rangkaian lima tadi menjadi bagian yang tidak berarti dari ribuan lemparan.

Seratus lemparan biasanya berakhir antara 0.40 dan 0.60

Ada patokan berguna untuk melihat penyimpangan proporsi yang lazim. Untuk n lemparan koin dengan peluang p, sekitar 95% rangkaian berakhir dengan proporsi dalam p ± 2√(p(1 − p)/n). Untuk koin adil dan 100 lemparan, hasilnya 0.5 ± 2√(0.25/100) = 0.5 ± 0.1, sehingga nilai dari 0.40 sampai 0.60 wajar. Untuk 10,000 lemparan, hasilnya 0.5 ± 0.01. Nilai Kerrich 0.5067 berada nyaman dalam pita itu, sekitar 1.34 simpangan baku di atas 0.5. Perhatikan akar kuadratnya: agar pita sepuluh kali lebih sempit, diperlukan seratus kali lebih banyak lemparan.

Memuat

Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.

Pita berarsir menunjukkan p ± 2√(p(1 − p)/n). Lempar 1000 lalu 10,000 dan amati garis biru menetap di dalam pita yang menyempit. Baris "Sisi kepala dikurangi harapan" menunjukkan selisih jumlah yang tidak menetap.

Coba: atur Peluang sisi kepala ke 0.70, mendekati nilai koin berbobot timbal Kerrich, lalu lempar 10,000 kali. Garis menetap pada 0.70, bukan 0.50. Hukum bilangan besar juga berlaku untuk koin bias; hukum ini menunjukkan peluang milik koin itu sendiri.

Gagasan sama membantu OpenStax menilai euro Belgia. Dengan 250 lemparan, pita 95% untuk koin adil adalah 0.5 ± 2√(0.25/250) = 0.5 ± 0.063, sekitar 0.437 sampai 0.563. Hasil pengamatan 0.56 berada di dalam, dekat batas. Itulah sebabnya kesimpulan jujur adalah "mungkin bias, lempar lebih banyak", bukan "terbukti tidak adil".

Frekuensi relatif	Banyak kejadian muncul ÷ banyak percobaan
Hukum bilangan besar	Saat percobaan bertambah, frekuensi relatif mendekati peluang
Kekeliruan penjudi	Mengira hasil terdahulu mengubah hasil independen berikutnya
Pita 95% untuk proporsi	p ± 2√(p(1 − p)/n)

Kerrich: 5,067 sisi kepala dalam 10,000 lemparan. Berapa proporsi sisi kepala?
Berapa kelebihan sisi kepala Kerrich dari 5,000?
Koin adil, 100 lemparan. Berapa setengah lebar pita 95%, 2√(0.25/100)?
Koin adil, 10,000 lemparan. Berapa setengah lebar pita 95%?
Untuk membuat pita separuh lebar semula, diperlukan berapa kali lebih banyak lemparan?
Koin adil menghasilkan sisi kepala 5 kali berturut-turut. Berapa P(sisi kepala pada lemparan berikutnya)?
Sebanyak 56% dari 250 lemparan menghasilkan sisi kepala. Berapa jumlah sisi kepala?
Kamu melempar dadu 30 kali dan mendapat 7 angka enam. Berapa frekuensi relatif enam, hingga 3 tempat desimal?
Pernyataan mana sesuai hukum bilangan besar?
- Setelah banyak sisi kepala, sisi ekor lebih mungkin muncul
- Jumlah sisi kepala dikurangi separuh lemparan menyusut ke 0
- Proporsi sisi kepala mendekati peluang saat lemparan bertambah
- Dengan cukup lemparan, proporsi tepat sama dengan 0.5
Apakah 0.56 dari 250 lemparan berada dalam pita 95% koin adil, 0.437 sampai 0.563?
- Ya, sedikit di dalam
- Tidak, di luar

Kesalahan umum

"Sisi ekor muncul tujuh kali berturut-turut, jadi kini giliran sisi kepala." Koin tidak punya ingatan. Pada koin adil, peluang sisi kepala pada lemparan kedelapan adalah 1/2, sama seperti lemparan pertama. Hukum bilangan besar tidak mendorong lemparan berikutnya ke sisi yang tertinggal.
"Menurut hukum bilangan besar, 10 lemparan seharusnya memberi 5 sisi kepala." Sepuluh bukan bilangan besar. Peluang tepat 5 sisi kepala dalam 10 lemparan adil adalah 252/1024, sekitar 0.246, sehingga kira-kira tiga dari empat kali jumlahnya berbeda. Hukum itu membahas proporsi setelah banyak lemparan.
"Setelah 1000 lemparan, saya mendapat 530 sisi kepala, kelebihan 30. Jika diteruskan, kelebihan 30 akan hilang." Kelebihan itu tidak harus menyusut. Misalkan masih 30 setelah 10,000 lemparan. Proporsinya menjadi 5,030 ÷ 10,000 = 0.503, jauh lebih dekat ke 0.5 dibanding 0.53. Proporsi stabil karena selisih sama dibagi bilangan lebih besar. (Jumlah lemparannya rekaan.)

Catatan untuk guruDua gagasan tertukar di sini: proporsi menjadi stabil dan jumlah menjadi seimbang. Hanya yang pertama benar. Urutan yang bisa dipakai: catat 20 atau 30 lemparan dengan tangan dahulu, lalu jalankan 10,000 di laboratorium dan lihat dua baris berdampingan, proporsi sisi kepala dan selisih jumlahnya dari harapan. Minta prediksi selisih sebelum siapa pun menekan tombol. Dalam kurikulum Korea, frekuensi relatif diajarkan di SMP, sedangkan istilah "peluang statistik" dan "hukum bilangan besar" masuk pelajaran Peluang dan Statistika SMA, yang menyebut alat digital dapat menyediakan banyak percobaan.

Poin penting

Frekuensi relatif = frekuensi ÷ banyak percobaan.
Hukum bilangan besar: proporsi mendekati peluang; selisih jumlah tidak harus demikian.
Pita 95% yang lazim: p ± 2√(p(1 − p)/n). Jumlah lemparan 100 kali, lebar sepersepuluhnya.
Lemparan independen tidak punya ingatan.

Sumber kursus ini (9)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
4.3 binomial distribution
7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
Kerrich story: John Kerrich, 10,000 tosses, 5,067 heads (JMP case study JMP014 by DeWayne Derryberry, jmp.com/en/academic/case-study-library/is-a-coin-fair, citing Baldi and Moore; Wikipedia "John Edmund Kerrich")
Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")

Diperiksa: 2026-10-17