edubun
Русский
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoРусскийBahasa Indonesia日本語
Главная›Вероятность и статистика›Вероятность

Закон больших чисел

Во время Второй мировой войны Джон Керрих подбросил монету 10 000 раз и получил 5067 орлов, то есть долю 0.5067.

После пяти орлов подряд пора выпасть решке?

Пять орлов подряд. Следующей наверняка должна быть решка? Так и хочется думать, и у этого ощущения есть название: ошибка игрока. Она похожа на закон больших чисел, в чём и проблема. Закон настоящий. Но он ничего не говорит о следующем броске и никогда не работает за счёт компенсации. Начнём с того, что он действительно утверждает.

Если шанс орла равен 1/2, почему он так часто выпадает три или четыре раза подряд? Потому что вероятность описывает не горстку бросков, а многократные повторения. Доля наступлений события в серии испытаний называется относительной частотой: число наступлений ÷ число испытаний. Закон больших чисел утверждает: с ростом числа испытаний относительная частота стремится всё ближе к теоретической вероятности.

КонтекстМатематик Джон Керрих оказался в Копенгагене, когда Германия вторглась в Данию в 1940 году, и провёл остаток войны в лагере для интернированных. Располагая временем, он вместе с другим интернированным, Эриком Кристенсеном, проводил вероятностные эксперименты. Самый известный: 10 000 подбрасываний монеты с последовательной записью числа орлов. Итог: 5067 орлов и 4933 решки. Они также сделали смещённую монету из деревянного диска, частично покрытого свинцом; доля орлов тоже стабилизировалась, около 70 процентов. Керрих опубликовал результаты в 1946 году. Пока компьютеры не удешевили моделирование, это был классический пример закона больших чисел.

У Керриха было 67 лишних орлов, но отклонение доли лишь 0.0067

Доля Керриха равна 5067 ÷ 10 000 = 0.5067, всего на 0.0067 отличается от 0.5. Но в абсолютном выражении орлов было на 67 больше «ожидаемых» 5000. Эта часть закона удивляет. По мере бросков разница между числом орлов и половиной числа бросков не стремится к нулю; обычно она блуждает и нередко растёт. Уменьшается разница, делённая на число бросков. Закон больших чисел подавляет раннюю удачу огромным числом последующих бросков, а не компенсирует её.

Поэтому ошибка игрока и является ошибкой. После пяти орлов подряд вероятность орла при следующем броске симметричной монеты всё ещё 1/2. У монеты нет памяти, и она никому не должна решку. В длинной серии начальная полоса из пяти станет незаметной частью тысяч бросков.

Сто бросков обычно заканчиваются долей от 0.40 до 0.60

Есть полезное приблизительное правило обычного отклонения доли. Для n бросков монеты с вероятностью p около 95% серий заканчиваются долей в пределах p ± 2√(p(1 − p)/n). Для симметричной монеты и 100 бросков это 0.5 ± 2√(0.25/100) = 0.5 ± 0.1, поэтому значения от 0.40 до 0.60 обычны. Для 10 000 бросков интервал 0.5 ± 0.01. Результат Керриха 0.5067 уверенно внутри, примерно на 1.34 стандартного отклонения выше 0.5. Обрати внимание на квадратный корень: для сужения полосы в десять раз нужно в сто раз больше бросков.

Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

Затенённая полоса показывает p ± 2√(p(1 − p)/n). Нажми «Подбросить 1000», затем 10 000 и следи, как синяя линия укладывается в сужающуюся полосу. Строка «Орлы минус ожидаемое число» показывает разницу количеств, которая не стабилизируется.
Попробуй: поставь «Вероятность орла» на 0.70, около чего стабилизировалась свинцовая монета Керриха, и подбрось 10 000 раз. Линия установится около 0.70 вместо 0.50. Закон больших чисел действует и для смещённых монет: он показывает собственную вероятность монеты.

Та же идея позволяет оценить бельгийский евро из OpenStax. Для 250 бросков 95%-я полоса симметричной монеты равна 0.5 ± 2√(0.25/250) = 0.5 ± 0.063, примерно от 0.437 до 0.563. Наблюдаемое 0.56 внутри, близко к краю. Поэтому честный вывод: «возможно смещение, нужны ещё броски», а не «несимметричность доказана».

Относительная частотаЧисло наступлений события ÷ число испытаний
Закон больших чиселС ростом числа испытаний относительная частота приближается к вероятности
Ошибка игрокаУбеждение, что прошлые результаты меняют следующий независимый результат
95%-я полоса для долиp ± 2√(p(1 − p)/n)
  1. Керрих: 5067 орлов за 10 000 бросков. Какова доля орлов?
  2. На сколько орлов результат Керриха превысил 5000?
  3. Симметричная монета, 100 бросков. Какова полуширина 95%-й полосы, 2√(0.25/100)?
  4. Симметричная монета, 10 000 бросков. Какова полуширина 95%-й полосы?
  5. Во сколько раз нужно увеличить число бросков, чтобы сузить полосу вдвое?
  6. Симметричная монета дала орла 5 раз подряд. Чему равно P(орёл при следующем броске)?
  7. Орёл выпал в 56% из 250 бросков. Сколько было орлов?
  8. За 30 бросков кости выпало 7 шестёрок. Какова относительная частота шестёрки до 3 знаков после точки?
  9. Какое утверждение соответствует закону больших чисел?
    • После многих орлов решка становится вероятнее
    • Число орлов минус половина числа бросков стремится к 0
    • С ростом числа бросков доля орлов приближается к вероятности
    • При достаточном числе бросков доля становится ровно 0.5
  10. Находится ли 0.56 за 250 бросков внутри 95%-й полосы симметричной монеты от 0.437 до 0.563?
    • Да, почти у края
    • Нет, снаружи
Частые ошибки
  • «Решка выпала семь раз подряд, теперь пора орлу». У монеты нет памяти. Для симметричной монеты восьмой бросок даёт орла с вероятностью 1/2, как и первый. Закон больших чисел не подталкивает следующий бросок к отстающей стороне.
  • «По закону больших чисел за 10 бросков должно быть 5 орлов». Десять не является большим числом. Шанс ровно 5 орлов за 10 симметричных бросков равен 252/1024, примерно 0.246. Значит, примерно в трёх случаях из четырёх количество другое. Закон говорит о доле после многих бросков.
  • «После 1000 бросков у меня 530 орлов, на 30 больше. Если продолжать, лишние 30 исчезнут». Избыток вовсе не обязан уменьшаться. Пусть после 10 000 бросков он всё ещё 30. Тогда доля 5030 ÷ 10 000 = 0.503, гораздо ближе к 0.5, чем 0.53. Доля стабилизируется, потому что та же разница делится на большее число. (Количество бросков вымышленное.)
Заметка для учителяЗдесь смешивают две идеи: стабилизацию доли и выравнивание количества. Верна только первая. Подходящий порядок: сначала вручную подсчитать 20 или 30 бросков, затем запустить в лаборатории 10 000 и сопоставить две строки: долю орлов и разницу между числом орлов и ожидаемым количеством. До нажатия кнопки попросите предсказать разницу. В корейской программе относительная частота относится к средней школе, а термины «статистическая вероятность» и «закон больших чисел» к старшему курсу «Вероятность и статистика», где отмечено, что цифровой инструмент позволяет выполнить большое число испытаний.
Главное
  • Относительная частота = число наступлений ÷ число испытаний.
  • Закон больших чисел: доля приближается к вероятности; разница количеств не обязана.
  • Обычная 95%-я полоса: p ± 2√(p(1 − p)/n). В 100 раз больше бросков, в десять раз уже полоса.
  • У независимых бросков нет памяти.
Источники курса (9)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
  • Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
  • 4.3 binomial distribution
  • 7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
  • Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
  • Kerrich story: John Kerrich, 10,000 tosses, 5,067 heads (JMP case study JMP014 by DeWayne Derryberry, jmp.com/en/academic/case-study-library/is-a-coin-fair, citing Baldi and Moore; Wikipedia "John Edmund Kerrich")
  • Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
  • Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
  • Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")

Проверено: 2026-10-17