Исходы, события и вероятность

У правильной игральной кости шесть граней, поэтому шанс выбросить не меньше пяти равен 2 из 6, примерно 0.333.

Прогноз обещает завтра дождь с вероятностью 30%. Число вымышленное, но подобные ты наверняка слышал. Оно не говорит, промокнешь ли ты. Оно сообщает нечто менее определённое, но полезное: дождь возможен, хотя отсутствие дождя вероятнее. Опоздает ли автобус? Попадёт ли следующий штрафной в кольцо? Наверняка сказать нельзя, но и полной неизвестности нет. Для такого промежуточного состояния используют вероятность. Она принимает значения от 0 до 1. Вероятность 0 означает, что событие невозможно, 1 означает, что оно происходит всегда, а 0.5 означает равные шансы наступления и ненаступления.

У одной кости шесть исходов, и «не меньше пяти» соответствует двум

В статистике есть небольшой набор терминов, которые стоит знать точно. Испытание является действием с неопределённым результатом, например подбрасыванием монеты или броском кости. Каждый возможный результат называется исходом. Множество всех возможных исходов называется пространством элементарных исходов и обозначается S. Для монеты S = {H, T}. Для кости S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Событие является любой интересующей нас группой исходов и обозначается заглавной буквой. «Выбросить не меньше пяти» соответствует событию E = {5, 6}.

Ещё один удобный пример: камень, ножницы, бумага. Каждый из двух игроков показывает один из трёх жестов, поэтому пространство содержит 3 × 3 = 9 исходов, от (камень, камень) до (ножницы, ножницы). Три дают ничью: оба камня, обе бумаги, обе пары ножниц. Если оба игрока выбирают случайно, девять исходов равновероятны и P(ничья) = 3/9 = 1/3. Выбирают ли так реальные игроки, другой вопрос. Правило подсчёта ниже опирается именно на это предположение.

Если все элементарные исходы равновероятны, вероятность находят подсчётом: P(A) = (число исходов в A) ÷ (число исходов в S). Для кости P(E) = 2 ÷ 6 = 1/3, примерно 0.333. OpenStax использует монеты в десять и пять центов: пространство {HH, HT, TH, TT} содержит четыре исхода, а событие «ровно один орёл» включает HT и TH, поэтому его вероятность 2/4 = 0.5. Обрати внимание: HT и TH являются разными исходами. Монеты различимы, и именно учёт результата каждой монеты делает четыре исхода равновероятными.

Подбрось одну монету, затем другую: у дерева появится новый уровень

Исходы можно записать списком, изобразить деревом или диаграммой Венна. Списки удобны для небольших испытаний. Деревья помогают, когда испытание идёт по этапам, например сначала подбрасывают одну монету, затем другую: каждый этап добавляет уровень ветвей, а путь от корня до конца даёт один исход. Диаграммы Венна удобнее всего показывают пересечение событий; они понадобятся в уроке об ИЛИ и И.

Правило подсчёта требует равновероятных исходов, но реальные предметы не всегда этому соответствуют. OpenStax сообщает, что студенты, проверявшие бельгийскую монету в один евро, получили орла в 56% из 250 испытаний. Кость с углублёнными точками может немного предпочитать некоторые грани. Поэтому в казино углубления заполняют краской той же плотности, что и сама кость. Если исходы неравновероятны, вероятность приходится оценивать по частоте в длинной серии, а не подсчётом. Следующий урок объясняет, что значит «длинная серия».