결과, 사건, 확률

공정한 주사위는 면이 6개라서 5 이상이 나올 확률은 6가지 중 2가지, 약 0.333입니다.

일기 예보에서 「내일 강수확률 30%」라는 말을 들었다고 해 봅시다(지어낸 예). 이 말만으로는 내일 우산이 필요할지 알 수 없습니다. 그래도 아무것도 모르는 것과는 다릅니다. 비가 올 수도 있지만 오지 않을 쪽이 더 그럴듯하다는 것쯤은 알 수 있습니다. 버스가 늦을지, 다음 자유투가 들어갈지도 마찬가지입니다. 이렇게 확실하지 않은 일이 일어날 가능성을 수로 나타낸 것이 확률입니다. 확률은 0부터 1까지의 값을 가집니다. 0이면 그 사건은 절대 일어나지 않고, 1이면 반드시 일어납니다. 0.5는 일어날 가능성과 일어나지 않을 가능성이 반반이라는 뜻입니다. 초등학교에서 「불가능하다」「반반이다」「확실하다」로 말하던 가능성을 0, 1/2, 1이라는 수로 바꾸어 쓰는 방법과 그대로 이어집니다. 0에 가까울수록 일어나기 어려운 사건이고, 1에 가까울수록 일어나기 쉬운 사건입니다.

주사위 하나의 결과는 6가지, 「5 이상」은 그중 2가지입니다

동전을 던지거나 주사위를 굴리는 것처럼 같은 조건에서 되풀이할 수 있고 결과가 우연에 따라 달라지는 실험이나 관찰을 시행이라고 합니다. 한 번의 시행에서 나올 수 있는 결과를 모두 모은 것을 표본공간이라 하고 S로 씁니다. 동전 하나라면 S = {앞, 뒤}, 주사위 하나라면 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}입니다. 결과 가운데 관심 있는 것들을 모은 것이 사건이고, 사건에는 A, B, E 같은 대문자로 이름을 붙입니다. 「5 이상의 눈이 나온다」는 사건은 E = {5, 6}입니다. 중학교에서는 어떤 사건이 일어나는 가짓수를 경우의 수라고 부르니, 이 사건의 경우의 수는 2입니다.

가위바위보도 좋은 예입니다. 두 사람이 각각 가위, 바위, 보 가운데 하나를 내니, 나올 수 있는 결과는 (가위, 가위)부터 (보, 보)까지 3 × 3 = 9가지입니다. 이 가운데 비기는 경우는 두 사람이 같은 것을 낸 세 가지입니다. 두 사람이 무작위로 낸다고 하면 아홉 가지 결과의 가능성이 모두 같으므로 비길 확률은 3/9 = 1/3입니다. 실제 사람이 정말 무작위로 내는지는 또 다른 문제입니다. 아래의 계산 방법은 바로 그 가정에 기대고 있습니다.

각 결과가 일어날 가능성이 모두 같으면 개수만 세어도 확률이 나옵니다. P(A) = (사건 A가 일어나는 경우의 수) ÷ (모든 경우의 수)입니다. 주사위라면 P(E) = 2 ÷ 6 = 1/3, 약 0.333입니다. 고등학교에서는 이렇게 구한 확률을 수학적 확률이라고 부릅니다. OpenStax 교과서는 10센트 동전과 5센트 동전을 함께 던지는 예를 듭니다. 표본공간은 {앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤}로 4가지이고, 「앞면이 정확히 하나」인 사건은 앞뒤와 뒤앞 두 가지이므로 확률은 2/4 = 0.5입니다. 여기서 앞뒤와 뒤앞을 하나로 합치면 안 됩니다. 두 동전은 서로 다른 동전이고, 어느 동전이 앞면인지 구별해 적어야 네 결과의 가능성이 같아집니다.

동전 두 개의 수형도입니다. 가지마다 확률이 1/2이고, 네 갈래 길은 각각 1/2 × 1/2 = 1/4입니다. H는 앞면, T는 뒷면입니다.

동전을 하나씩 던질 때마다 수형도의 가지가 한 층씩 늘어납니다

결과를 적는 방법은 세 가지입니다. 하나하나 늘어놓는 목록, 가지를 그려 나가는 수형도, 원을 겹쳐 그리는 벤 다이어그램입니다. 결과가 몇 개 안 되면 목록으로 충분합니다. 동전 하나를 던지고 이어서 또 하나를 던지는 것처럼 시행이 단계로 나뉘면 수형도가 편합니다. 단계마다 가지가 한 층씩 늘어나고, 맨 왼쪽 점에서 가지 끝까지 한 갈래를 따라가면 결과 하나가 됩니다. 위 그림의 갈래가 네 개인 것도 그래서입니다. 벤 다이어그램은 사건끼리 겹치는 부분을 보여 줄 때 좋아서, 4단원의 「또는」과 「그리고」에서 다시 씁니다.

경우의 수를 세는 방법은 모든 결과의 가능성이 같을 때만 맞습니다. 실제 물건은 꼭 그렇지 않습니다. OpenStax에 따르면 벨기에 1유로 동전을 250번 던진 학생들은 앞면을 56% 얻었습니다. 눈 자리를 오목하게 판 주사위는 어떤 면이 조금 더 잘 나올 수 있어서, 카지노 주사위는 판 자리를 주사위와 밀도가 같은 물감으로 메웁니다. 압정처럼 두 면의 생김새가 전혀 다른 물건은 「바늘이 위로」와 「옆으로 눕기」가 같은 정도로 일어난다고 볼 근거가 처음부터 없습니다. 이럴 때는 경우의 수 대신 여러 번 되풀이해 본 결과로 확률을 어림합니다. 이렇게 얻은 확률을 통계적 확률이라고 하며, 「여러 번」이 얼마나 많아야 하는지는 다음 단원에서 다룹니다.

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끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

공정한 동전을 20번 던진 결과가 그래프에 있습니다. 「1번」을 누르면 한 번씩 더 던집니다. 던진 횟수가 적을 때는 한 번이 비율을 크게 흔들고, 천 번쯤 던진 뒤에는 거의 흔들지 못하는 것을 보세요.

해 보세요. 「10번」을 몇 번 누르고 그래프 아래 앞면 비율을 읽어 보세요. 모두 30~40번쯤 던졌을 때는 완전히 공정한 동전이라도 0.40이나 0.60 같은 값이 흔히 나옵니다.

실험	결과가 확실하지 않은 행동, 예: 주사위 굴리기
결과	실험에서 나올 수 있는 결과 하나
표본공간 S	나올 수 있는 모든 결과의 모임
사건	결과 몇 개의 모임, 예: {5, 6}
같은 확률일 때 P(A)	A의 결과 수 ÷ S의 결과 수

공정한 주사위 하나. 5 이상이 나올 확률은?
공정한 주사위 하나. 짝수가 나올 확률은?
공정한 동전 두 개. 둘 다 앞면일 확률은?
동전 하나를 던지고 주사위 하나를 굴릴 때 표본공간의 결과는 몇 가지인가요?
동전 세 개를 던질 때 결과는 몇 가지인가요?
공정한 동전 세 개. 앞면이 정확히 2개일 확률은?
주사위 하나. 7이 나올 확률은?
확률이 될 수 없는 수는?
- 0
- 0.999
- 1
- 1.2
주머니에 빨간 구슬 3개, 파란 구슬 5개, 초록 구슬 2개가 있습니다. 파란 구슬을 꺼낼 확률을 소수로 쓰면?
어떤 동전이 250번 중 56%에서 앞면이 나왔습니다. 무엇을 알 수 있나요?
- 반드시 불공정한 동전이다
- 치우쳤을 수도 있으니 더 던져 봐야 한다
- 앞면 확률은 정확히 0.56이다
- 동전에는 확률을 쓸 수 없다

자주 하는 실수

「동전 두 개를 던지면 앞면이 0개, 1개, 2개로 세 가지이니 앞면이 1개일 확률은 1/3이다.」 이 세 결과는 가능성이 같지 않습니다. 앞면 1개는 앞뒤와 뒤앞 두 가지로 나오므로, 가능성이 같은 결과 4가지 가운데 2가지이고 확률은 2/4 = 1/2입니다. 앞면 0개와 2개는 각각 1/4입니다.
「압정은 바늘이 위로 서거나 옆으로 눕거나 둘 중 하나이니 각각 1/2이다.」 결과가 두 가지라고 가능성이 반반인 것은 아닙니다. 압정은 대칭이 아니어서 반반이라고 볼 까닭이 없습니다. 여러 번 던져 상대도수로 어림해야 합니다.
「확률이 1/2이면 두 번 던질 때 앞면이 꼭 한 번 나온다.」 두 번 던져 앞면이 정확히 한 번 나오는 것은 앞뒤나 뒤앞일 때뿐이라 4가지 중 2가지, 절반의 경우에만 그렇습니다. 확률은 오래 되풀이했을 때의 이야기이지, 다음 두 번에 대한 약속이 아닙니다.

선생님 메모2022 개정 교육과정에서 가능성은 초등학교 5~6학년군에서 「확실하다」「반반이다」 같은 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 처음 나옵니다([6수04-04], [6수04-05]). 확률이라는 말과 식은 중학교 1~3학년군 [9수04-06]에서 배우는데, 성취기준 해설은 경우의 수의 비율로 확률을 구할 때 각 경우가 일어날 가능성이 같다고 가정한다는 데 유의하게 하라고 적고 있습니다. 실제로 막히는 곳도 여기입니다. 식을 쓰기 전에 「이 결과들은 정말 가능성이 같은가?」부터 묻게 하세요. 동전 두 개 문제에 1/3이라고 답한 학생에게는 10원짜리와 100원짜리를 함께 스무 번 던져 앞면 개수를 세어 보게 하면 좋습니다. 「표본공간」은 교육과정 용어 목록에 없는 말이니, 처음에는 「일어날 수 있는 모든 경우」라고 풀어서 말해 주세요. 「시행」은 고등학교 확률과 통계의 용어입니다.

핵심 정리

확률은 0(절대 안 일어남)부터 1(반드시 일어남)까지.
표본공간 S: 나올 수 있는 모든 결과. 사건: 결과 몇 개의 모임.
같은 확률이면 P(A) = A의 결과 수 ÷ S의 결과 수.
실제 동전·주사위는 치우칠 수 있고, 그때는 오래 해 본 상대도수로 확률을 얻음.

이 과정의 출처 (9)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
4.3 binomial distribution
7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
Kerrich story: John Kerrich, 10,000 tosses, 5,067 heads (JMP case study JMP014 by DeWayne Derryberry, jmp.com/en/academic/case-study-library/is-a-coin-fair, citing Baldi and Moore; Wikipedia "John Edmund Kerrich")
Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")

확인한 날: 2026-10-17