여사건, 「또는」, 「그리고」

주사위를 네 번 굴려 6이 한 번 이상 나올 확률은 1 − (5/6)⁴ = 671/1296, 약 0.518입니다.

1654년, 똑같아 보이던 두 내기

배경1654년 여름, 블레즈 파스칼은 슈발리에 드 메레라고 불린 앙투안 공보가 던진 질문들을 두고 피에르 드 페르마에게 편지를 썼습니다. 그중 하나는 두 가지 내기에 관한 것이었습니다. 주사위 하나를 네 번 던져 6이 한 번 이상 나오는 데 거는 내기는 이기는 내기였습니다. 파스칼은 그 유리함이 「671 대 625」라고 적었습니다. 주사위 두 개를 24번 던져 6 두 개가 한 번 이상 나오는 데 거는 내기는, 24 대 36이 4 대 6과 같으니 같은 내기를 키운 것처럼 보였습니다. 그런데 실제로 이 내기는 지는 내기였습니다. 여사건의 확률로 계산하면 1 − (35/36)²⁴는 약 0.491로 절반에 조금 못 미칩니다. 그해 여름 파스칼과 페르마가 주고받은 편지는 대부분 중간에 멈춘 게임의 판돈을 어떻게 나눌지에 관한 것이었고, 흔히 확률론의 시작으로 꼽힙니다.

결과를 하나하나 세는 방법은 주사위가 한두 개일 때까지는 쓸 만합니다. 드 메레의 첫 번째 내기만 해도 결과가 6 × 6 × 6 × 6 = 1,296가지이고, 두 번째 내기는 그보다 훨씬 많습니다. 이 정도 크기의 문제는 대부분 세 가지 규칙으로 풀립니다. 「아님」에는 여사건의 확률, 「또는」에는 확률의 덧셈정리, 「그리고」에는 확률의 곱셈정리를 씁니다. 카드 한 벌에서 하트 또는 킹을 뽑을 확률 같은 작은 문제도 같은 규칙으로 풉니다.

「6이 한 번 이상」은 「6이 한 번도 없음」을 빼고 남은 전부입니다

사건 A가 일어나지 않는 사건을 A의 여사건이라 하고 A′로 씁니다. A와 A′는 겹치지 않으면서 둘을 합치면 표본공간 전체가 되므로 P(A) + P(A′) = 1, 따라서 P(A′) = 1 − P(A)입니다. 주사위 하나에서 6이 나오지 않을 확률은 1 − 1/6 = 5/6입니다. 「적어도 한 번」을 묻는 문제에는 여사건이 가장 빠른 길입니다. 「6이 한 번 이상」의 여사건은 「6이 한 번도 나오지 않음」이고, 이쪽은 계산하기 쉽습니다. 강수확률이 30%일 때(지어낸 예) 비가 오지 않을 확률을 1 − 0.3 = 0.7로 구하는 것도 같은 계산입니다.

짝수이거나 4보다 작은 눈, 겹치는 2는 한 번만 셉니다

결과가 A에 속하거나, B에 속하거나, 둘 다에 속하면 「A 또는 B」에 들어갑니다. P(A)와 P(B)를 그냥 더하면 두 사건에 함께 속한 결과를 두 번 세게 되므로 한 번 빼 줍니다. P(A 또는 B) = P(A) + P(B) − P(A 그리고 B)이고, 이것이 확률의 덧셈정리입니다. OpenStax의 예는 주사위 하나에서 A = 짝수 = {2, 4, 6}, B = 4보다 작음 = {1, 2, 3}입니다. 둘 다에 속하는 것은 2뿐이라 P(A 또는 B) = 3/6 + 3/6 − 1/6 = 5/6이고, {1, 2, 3, 4, 6}을 직접 세어도 5가지입니다. 두 사건이 동시에 일어날 수 없으면 서로 배반이라 하고, 이런 두 사건을 배반사건이라고 부릅니다. 배반사건은 P(A 그리고 B) = 0이니 그냥 더하면 됩니다.

주사위 하나. A = {2, 4, 6}과 B = {1, 2, 3}은 2에서만 겹칩니다. 5는 어디에도 속하지 않으므로 「A 또는 B」의 여사건입니다.

독립인 시행에서는 5/6을 네 번 곱합니다

한 사건이 일어나도 다른 사건의 확률이 바뀌지 않으면 두 사건은 서로 독립입니다. 주사위를 따로 굴리거나 동전을 따로 던지는 경우가 그렇습니다. 독립인 두 사건은 P(A 그리고 B) = P(A) × P(B)입니다. 동전을 두 번 던져 둘 다 앞면일 확률은 1/2 × 1/2 = 1/4이고, 주사위를 네 번 굴려 6이 한 번도 나오지 않을 확률은 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 = 625/1296입니다. 그러니 네 번 가운데 6이 한 번 이상 나올 확률은 1 − 625/1296 = 671/1296, 약 0.518로 절반을 조금 넘습니다. 드 메레가 첫 번째 내기에서 이긴 까닭입니다. 카드를 뽑고 다시 넣지 않을 때처럼 독립이 아니면 조건부확률을 써서 곱해야 하는데, 이것이 확률의 곱셈정리이고 다음 단원에서 다룹니다.

불러오는 중

끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

주사위 네 개를 한꺼번에 굴리는 것은 주사위 하나를 네 번 굴리는 것과 같습니다. 「6이 하나 이상」 사건이 골라져 있고, 아래에 관찰한 비율과 정확한 값 671/1296을 나란히 보여 줍니다. 10,000번 굴리면 두 값이 소수 둘째 자리 정도까지 맞습니다.

여사건의 확률	P(A′) = 1 − P(A)
확률의 덧셈정리	P(A 또는 B) = P(A) + P(B) − P(A 그리고 B)
배반사건(서로 배반)	함께 일어날 수 없음: P(A 그리고 B) = 0
독립 사건	P(A 그리고 B) = P(A) × P(B)
한 번 이상	1 − P(한 번도 없음)

주사위 하나. 6이 아닐 확률은?
P(비) = 0.35입니다. 비가 오지 않을 확률은?
주사위 하나. A = 짝수, B = 4보다 작음. P(A 또는 B)는?
52장 카드 한 벌. 하트 또는 킹을 뽑을 확률은?
주사위를 한 번 굴릴 때 서로 배반인 사건은?
- 짝수, 3보다 큼
- 1이 나옴, 6이 나옴
- 홀수, 4보다 작음
- 짝수, 2가 나옴
공정한 동전 세 개. 앞면이 하나 이상 나올 확률은?
주사위를 네 번 굴려 6이 한 번 이상 나올 확률을 소수 셋째 자리까지?
주사위 두 개를 24번 굴려 6 두 개가 한 번 이상 나올 확률을 소수 셋째 자리까지?
독립인 두 사건 P(A) = 0.3, P(B) = 0.5. P(A 그리고 B)는?
드 메레가 두 내기를 같다고 본 것이 틀린 이유는?
- 주사위가 조작되어서
- 「한 번 이상」의 확률은 시도 횟수에 비례해서 커지지 않아서
- 주사위 두 개는 결과가 30가지라서
- 판돈이 달라서

자주 하는 실수

「주사위 두 개에서 6이 하나 이상 나올 확률은 1/6 + 1/6 = 1/3이다.」 (6, 6)을 두 번 셌습니다. 덧셈정리대로 한 번 빼면 1/6 + 1/6 − 1/36 = 11/36, 약 0.306입니다. 여사건으로 구해도 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36으로 같습니다.
「주사위를 여섯 번 굴리면 6은 반드시 나온다. 6 × 1/6 = 1이니까.」 확률에 횟수를 곱하는 것은 드 메레의 실수를 더 밀고 나간 셈법입니다. 여섯 번 모두 6이 아닐 확률이 (5/6)⁶, 약 0.335이니 6이 한 번 이상 나올 확률은 약 0.665이고, 1이 아닙니다.
「배반사건이면 서로 독립이다.」 오히려 반대에 가깝습니다. 주사위 하나에서 「짝수」와 「홀수」는 함께 일어날 수 없어 P(둘 다) = 0인데, P(짝수) × P(홀수) = 1/4입니다. 하나가 일어났다는 것을 알면 다른 하나는 일어나지 않았다는 것을 확실히 알게 되니, 아주 강하게 종속입니다.
「「6이 한 번 이상」의 여사건은 「매번 6」이다.」 여사건은 「6이 한 번도 나오지 않음」입니다. 「매번 6」은 「6이 한 번 이상」 안에 들어 있는 결과 가운데 하나이지, 바깥이 아닙니다.

선생님 메모세 규칙을 식으로만 외우면 어느 말에 어느 식을 쓰는지 금세 헷갈립니다. 말과 그림을 하나씩 짝지어 주세요. 「아님」은 원 바깥을 칠한 그림, 「또는」은 겹친 두 원, 「그리고」는 수형도의 가지입니다. 규칙을 익힌 뒤에는 드 메레의 두 내기로 확인하면 좋습니다. 4/6을 24/36으로 키우는 틀린 방법이 워낙 그럴듯해서, 제대로 이해했는지가 바로 드러납니다. 2022 개정 교육과정에서는 고등학교 확률과 통계의 [12확통02-02] 확률의 덧셈정리, [12확통02-03] 여사건의 확률, [12확통02-06] 확률의 곱셈정리가 이 단원에 해당하고, 용어로 「여사건」「배반사건」「독립시행」을 씁니다. 고려 사항에 세 사건 이상이 서로 배반이거나 서로 독립이라고 가정한 복잡한 문제는 다루지 않는다고 되어 있으니, 사건이 셋 이상인 덧셈정리까지 갈 필요는 없습니다.

핵심 정리

아님: P(A′) = 1 − P(A). 「한 번 이상」 문제에 사용.
또는: P(A) + P(B) − P(A 그리고 B). 서로 배반이면 겹침 없음.
독립인 사건의 그리고: 곱하기.
4번 중 6 한 번 이상 ≈ 0.518, 24번 중 6 두 개 한 번 이상 ≈ 0.491.

이 과정의 출처 (9)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
4.3 binomial distribution
7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
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Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")

확인한 날: 2026-10-17