NICHT, ODER und UND
Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs bei vier Würfen beträgt 1 − (5/6)⁴ = 671/1296, etwa 0.518.
Zwei Würfelwetten, die 1654 gleich aussahen
Bei einem oder zwei Würfeln lassen sich die Ergebnisse einzeln zählen. Schon de Mérés erste Wette hat 6 × 6 × 6 × 6 = 1296 Ergebnisse, die zweite weit mehr. Drei Regeln helfen: die Gegenwahrscheinlichkeit für NICHT, der Additionssatz für ODER und der Multiplikationssatz für UND. Sie beantworten auch kleinere Fragen, etwa nach einer Herzkarte oder einem König im Kartenspiel.
„Mindestens eine Sechs“ umfasst alles außer „keine Sechs“
Das Gegenereignis zu A, geschrieben A′, enthält alle Ergebnisse außerhalb von A. A und A′ decken den gesamten Ergebnisraum ohne Überschneidung ab. Daher gilt P(A) + P(A′) = 1 und somit P(A′) = 1 − P(A). Beim Würfel gilt P(keine Sechs) = 1 − 1/6 = 5/6. Für Fragen nach „mindestens einem“ eignet sich das Gegenereignis besonders: „mindestens eine Sechs“ ist das Gegenteil von „überhaupt keine Sechs“, und Letzteres lässt sich leicht berechnen.
Gerade oder kleiner als vier: Die 2 zählt einmal
Ein Ergebnis gehört zu „A ODER B“, wenn es in A, in B oder in beiden liegt. P(A) + P(B) zählt die gemeinsamen Ergebnisse doppelt, also ziehen wir sie einmal ab: P(A OR B) = P(A) + P(B) − P(A AND B). OpenStax verwendet einen Würfel mit A = gerade = {2, 4, 6} und B = kleiner als vier = {1, 2, 3}. Nur die 2 gehört zu beiden. Daher P(A OR B) = 3/6 + 3/6 − 1/6 = 5/6, wie beim direkten Zählen von {1, 2, 3, 4, 6}. Können zwei Ereignisse nicht gemeinsam eintreten, sind sie unvereinbar: P(A AND B) = 0. Dann genügt die einfache Summe.
Bei unabhängigen Würfen viermal mit 5/6 multiplizieren
Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht ändert, etwa getrennte Würfel- oder Münzwürfe. Dann gilt P(A AND B) = P(A) × P(B). Zweimal Kopf: 1/2 × 1/2 = 1/4. Keine Sechs bei vier Würfen: 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 = 625/1296. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs 1 − 625/1296 = 671/1296, etwa 0.518, etwas mehr als die Hälfte. Deshalb gewann de Méré die erste Wette langfristig. Bei abhängigen Ereignissen, etwa beim Kartenziehen ohne Zurücklegen, benötigt der Multiplikationssatz die bedingte Wahrscheinlichkeit aus der nächsten Lektion.
Zum Drehen ziehen. Zum Zoomen scrollen oder zwei Finger auseinander- oder zusammenziehen.
| Regel für das Gegenereignis | P(A′) = 1 − P(A) |
| Additionssatz | P(A OR B) = P(A) + P(B) − P(A AND B) |
| Unvereinbare Ereignisse | Können nicht gemeinsam eintreten: P(A AND B) = 0 |
| Unabhängige Ereignisse | P(A AND B) = P(A) × P(B) |
| Mindestens eines | 1 − P(keines) |
- Ein Würfel. Wie groß ist P(keine Sechs)?
- P(Regen) = 0.35. Wie groß ist P(kein Regen)?
- Ein Würfel. A = gerade, B = kleiner als vier. Wie groß ist P(A OR B)?
- Ein übliches Spiel mit 52 Karten. Wie groß ist P(Herz ODER König)?
- Welche beiden Ereignisse sind bei einem Würfelwurf unvereinbar?
- Gerade und größer als 3
- Eine 1 und eine 6
- Ungerade und kleiner als 4
- Gerade und eine 2
- Drei faire Münzen. Wie groß ist P(mindestens einmal Kopf)?
- Mindestens eine Sechs bei vier Würfen, auf 3 Nachkommastellen?
- Mindestens ein Sechserpasch bei 24 Würfen mit zwei Würfeln, auf 3 Nachkommastellen?
- Unabhängige Ereignisse mit P(A) = 0.3 und P(B) = 0.5. Wie groß ist P(A AND B)?
- Warum durfte de Méré die beiden Wetten nicht gleichsetzen?
- Die Würfel waren gezinkt
- Die Wahrscheinlichkeit für „mindestens eines“ wächst nicht proportional zur Zahl der Versuche
- Zwei Würfel haben 30 Ergebnisse
- Die Einsätze waren unterschiedlich
- „Zwei Würfel: P(mindestens eine Sechs) = 1/6 + 1/6 = 1/3.“ Der Sechserpasch (6, 6) wurde doppelt gezählt. Der Additionssatz zieht ihn einmal ab: 1/6 + 1/6 − 1/36 = 11/36, etwa 0.306. Das Gegenereignis liefert dasselbe: 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36.
- „Bei sechs Würfen ist eine Sechs sicher: 6 × 1/6 = 1.“ Die Wahrscheinlichkeit mit der Versuchszahl zu multiplizieren, führt de Mérés Fehler weiter. Keine Sechs bei sechs Würfen hat die Wahrscheinlichkeit (5/6)⁶, etwa 0.335. Mindestens eine Sechs hat also etwa 0.665, nicht 1.
- „Unvereinbare Ereignisse sind unabhängig.“ Eher das Gegenteil: „gerade“ und „ungerade“ können bei einem Würfel nicht gemeinsam eintreten. Daher P(beide) = 0, während P(gerade) × P(ungerade) = 1/4. Tritt das eine ein, ist das andere sicher ausgeschlossen. Das ist eine starke Abhängigkeit.
- „Das Gegenereignis zu ‚mindestens eine Sechs‘ ist ‚jedes Mal eine Sechs‘.“ Das Gegenereignis lautet „überhaupt keine Sechs“. „Jedes Mal eine Sechs“ gehört zu „mindestens eine Sechs“, nicht zu dessen Gegenereignis.
- NICHT: P(A′) = 1 − P(A). Nützlich für „mindestens eines“.
- ODER: P(A) + P(B) − P(A AND B); unvereinbar bedeutet ohne Überschneidung.
- UND bei unabhängigen Ereignissen: multiplizieren.
- Eine Sechs bei 4 Würfen ≈ 0.518; Sechserpasch bei 24 Würfen ≈ 0.491.
Quellen zu diesem Kurs (9)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
- Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
- 4.3 binomial distribution
- 7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
- Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
- Kerrich story: John Kerrich, 10,000 tosses, 5,067 heads (JMP case study JMP014 by DeWayne Derryberry, jmp.com/en/academic/case-study-library/is-a-coin-fair, citing Baldi and Moore; Wikipedia "John Edmund Kerrich")
- Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
- Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
- Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")
Abgerufen: 2026-10-17