edubun
Bahasa Indonesia
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoРусскийBahasa Indonesia日本語
Beranda›Peluang dan statistika›Peluang

BUKAN, ATAU, dan DAN

Peluang muncul sedikitnya satu angka enam dalam empat lemparan dadu adalah 1 − (5/6)⁴ = 671/1296, sekitar 0.518.

Dua taruhan dadu yang tampak sama pada 1654

Latar belakangPada musim panas 1654, Blaise Pascal menulis kepada Pierre de Fermat tentang pertanyaan dari Antoine Gombaud, Chevalier de Méré. Salah satunya mengenai dua taruhan. Bertaruh pada sedikitnya satu angka enam dalam empat lemparan satu dadu menguntungkan; Pascal menulis bahwa keunggulannya "sebesar 671 berbanding 625". Taruhan sedikitnya satu pasangan enam dalam 24 lemparan dua dadu tampak seperti taruhan yang sama dengan skala diperbesar, karena perbandingan 24 terhadap 36 sama dengan 4 terhadap 6. Namun, taruhan itu merugikan. Aturan komplemen menjelaskannya: 1 − (35/36)²⁴ sekitar 0.491, sedikit di bawah setengah. Surat-surat Pascal dan Fermat pada musim panas itu, yang sebagian besar membahas pembagian taruhan pada permainan yang belum selesai, biasanya dianggap sebagai awal teori peluang.

Menghitung hasil satu per satu cocok untuk satu atau dua dadu. Taruhan pertama de Méré saja sudah memiliki 6 × 6 × 6 × 6 = 1296 hasil, dan taruhan kedua jauh lebih banyak. Tiga aturan menangani kebanyakan pertanyaan sebesar ini: aturan komplemen untuk BUKAN, aturan penjumlahan untuk ATAU, dan aturan perkalian untuk DAN. Aturan itu juga menjawab pertanyaan sederhana, seperti peluang mengambil kartu hati atau raja dari satu set kartu.

"Sedikitnya satu angka enam" mencakup semua hasil kecuali "tidak ada angka enam"

Komplemen kejadian A, ditulis A′, memuat semua hasil yang tidak termasuk A. Karena A dan A′ mencakup seluruh ruang sampel tanpa tumpang tindih, P(A) + P(A′) = 1, sehingga P(A′) = 1 − P(A). Untuk satu dadu, P(bukan enam) = 1 − 1/6 = 5/6. Aturan komplemen paling cocok untuk pertanyaan "sedikitnya satu", sebab "sedikitnya satu angka enam" adalah komplemen dari "sama sekali tidak ada angka enam", dan peluang "tidak ada angka enam" mudah dihitung.

Genap atau kurang dari empat, dengan 2 dihitung sekali

Sebuah hasil termasuk "A ATAU B" jika termasuk A, B, atau keduanya. Menjumlahkan P(A) dan P(B) menghitung hasil yang termasuk keduanya dua kali, maka kurangi sekali: P(A OR B) = P(A) + P(B) − P(A AND B). OpenStax memakai satu dadu dengan A = genap = {2, 4, 6} dan B = kurang dari empat = {1, 2, 3}. Hanya 2 yang termasuk keduanya. Jadi P(A OR B) = 3/6 + 3/6 − 1/6 = 5/6, sesuai dengan menghitung {1, 2, 3, 4, 6} langsung. Jika dua kejadian tidak dapat terjadi bersamaan, keduanya saling lepas, P(A AND B) = 0, dan aturannya menjadi penjumlahan biasa.

Satu dadu. A = {2, 4, 6} dan B = {1, 2, 3} hanya beririsan di 2. Hasil 5 tidak termasuk keduanya, sehingga merupakan komplemen A ATAU B.

Untuk lemparan saling bebas, kalikan 5/6 sebanyak empat kali

Dua kejadian saling bebas jika terjadinya yang satu tidak mengubah peluang yang lain, seperti lemparan dadu atau koin yang terpisah. Untuk kejadian saling bebas, P(A AND B) = P(A) × P(B). Dua sisi kepala dalam dua lemparan: 1/2 × 1/2 = 1/4. Tidak ada angka enam dalam empat lemparan: 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 = 625/1296. Maka peluang sedikitnya satu angka enam dalam empat lemparan adalah 1 − 625/1296 = 671/1296, sekitar 0.518, sedikit di atas setengah. Itulah sebabnya de Méré memenangkan taruhan pertama. Jika kejadian tidak saling bebas, misalnya mengambil kartu tanpa pengembalian, aturan perkalian membutuhkan peluang bersyarat, topik pelajaran berikutnya.

Memuat

Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.

Empat dadu sekaligus mewakili empat lemparan satu dadu. Kejadian "Sedikitnya satu 6" dipilih, dan panel membandingkan proporsi pengamatan dengan nilai tepat 671/1296. Lempar 10 000 kali dan keduanya akan sesuai hingga sekitar dua angka desimal.
Aturan komplemenP(A′) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahanP(A OR B) = P(A) + P(B) − P(A AND B)
Saling lepasTidak dapat terjadi bersamaan: P(A AND B) = 0
Kejadian saling bebasP(A AND B) = P(A) × P(B)
Sedikitnya satu1 − P(tidak ada)
  1. Satu dadu. Berapa P(bukan enam)?
  2. P(hujan) = 0.35. Berapa P(tidak hujan)?
  3. Satu dadu. A = genap, B = kurang dari empat. Berapa P(A OR B)?
  4. Satu set standar berisi 52 kartu. Berapa P(hati ATAU raja)?
  5. Pasangan kejadian mana yang saling lepas dalam satu lemparan dadu?
    • Genap, dan lebih dari 3
    • Angka 1, dan angka 6
    • Ganjil, dan kurang dari 4
    • Genap, dan angka 2
  6. Tiga koin adil. Berapa P(sedikitnya satu kepala)?
  7. Sedikitnya satu angka enam dalam empat lemparan dadu, hingga 3 angka desimal?
  8. Sedikitnya satu pasangan enam dalam 24 lemparan dua dadu, hingga 3 angka desimal?
  9. Kejadian saling bebas dengan P(A) = 0.3 dan P(B) = 0.5. Berapa P(A AND B)?
  10. Mengapa de Méré keliru menganggap kedua taruhan setara?
    • Dadunya dicurangi
    • Peluang "sedikitnya satu" tidak bertambah sebanding dengan banyaknya percobaan
    • Dua dadu memiliki 30 hasil
    • Nilai taruhannya berbeda
Kesalahan umum
  • "Dua dadu: P(sedikitnya satu enam) = 1/6 + 1/6 = 1/3." Pasangan enam (6, 6) dihitung dua kali. Aturan penjumlahan menguranginya sekali: 1/6 + 1/6 − 1/36 = 11/36, sekitar 0.306. Komplemen memberi jawaban sama: 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36.
  • "Enam lemparan menjamin munculnya enam: 6 × 1/6 = 1." Mengalikan peluang dengan banyaknya percobaan memperpanjang kesalahan de Méré. Peluang tidak ada enam dalam enam lemparan adalah (5/6)⁶, sekitar 0.335, sehingga peluang sedikitnya satu enam sekitar 0.665, bukan 1.
  • "Kejadian saling lepas adalah kejadian saling bebas." Justru hampir kebalikannya. Pada satu dadu, "genap" dan "ganjil" tidak mungkin terjadi bersamaan, sehingga P(keduanya) = 0, sedangkan P(genap) × P(ganjil) = 1/4. Mengetahui yang satu terjadi memastikan yang lain tidak terjadi, yang menunjukkan ketergantungan kuat.
  • "Komplemen dari 'sedikitnya satu enam' adalah 'enam setiap kali'." Komplemennya adalah "sama sekali tidak ada enam". "Enam setiap kali" merupakan salah satu hasil di dalam "sedikitnya satu enam", bukan di luarnya.
Catatan untuk guruJika hanya dihafalkan sebagai rumus, ketiga aturan ini mudah tertukar. Pasangkan tiap kata dengan gambar: BUKAN dengan arsiran di luar lingkaran, ATAU dengan dua lingkaran beririsan, DAN dengan cabang pohon. Setelah aturannya dipahami, taruhan de Méré cocok menjadi tes karena cara yang salah (mengubah 4/6 menjadi 24/36) terasa begitu wajar. Dalam kurikulum Korea, aturan ini termasuk mata pelajaran Peluang dan Statistika di SMA, yang juga menyarankan agar soal rumit dengan asumsi tiga kejadian atau lebih saling lepas atau saling bebas dihindari.
Poin penting
  • BUKAN: P(A′) = 1 − P(A). Gunakan untuk "sedikitnya satu".
  • ATAU: P(A) + P(B) − P(A AND B); saling lepas berarti tidak beririsan.
  • DAN untuk kejadian saling bebas: kalikan.
  • Satu enam dalam 4 lemparan ≈ 0.518; pasangan enam dalam 24 lemparan ≈ 0.491.
Sumber kursus ini (9)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
  • Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
  • 4.3 binomial distribution
  • 7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
  • Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
  • Kerrich story: John Kerrich, 10,000 tosses, 5,067 heads (JMP case study JMP014 by DeWayne Derryberry, jmp.com/en/academic/case-study-library/is-a-coin-fair, citing Baldi and Moore; Wikipedia "John Edmund Kerrich")
  • Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
  • Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
  • Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")

Diperiksa: 2026-10-17