Peluang bersyarat dan kejadian saling bebas

Dalam sampel OpenStax berisi 100 orang, 13 kidal, tetapi dari 48 perempuan hanya 4 yang kidal, sekitar 0.083.

Kebanyakan hari hujan berawan. Apakah kebanyakan hari berawan juga hujan?

Bayangkan satu bulan dengan 30 hari. Hujan turun pada 5 hari, dan 4 dari 5 hari itu berawan. Total ada dua belas hari berawan. Jadi kebanyakan hari hujan berawan, yaitu 4 dari 5. Kita mudah membaliknya dan mengatakan kebanyakan hari berawan juga hujan. Padahal tidak: hanya 4 dari 12 hari berawan yang hujan, yaitu sepertiga. Kedua pertanyaan menempatkan 4 hari yang sama sebagai pembilang. Penyebutnya adalah kelompok berbeda, dan memilih kelompok itulah inti peluang bersyarat.

Informasi baru mengubah peluang. Jika diketahui sebuah kartu bergambar, peluang kartu itu raja naik dari 4/52 menjadi 4/12. Peluang A dengan syarat B telah terjadi ditulis P(A | B), dibaca "A dengan syarat B". Syarat mempersempit ruang sampel: alih-alih menghitung semua hasil, kita hanya menghitung hasil dalam B. Rumusnya P(A | B) = P(A AND B) ÷ P(B), selama P(B) bukan nol.

OpenStax memberi contoh dadu. Misalkan A = mata dadu 2 atau 3 dan B = mata dadu genap. Dengan syarat B, mata dadu yang mungkin hanya 2, 4, dan 6; hanya 2 yang termasuk A. Jadi P(A | B) = 1/3. Rumusnya sesuai: P(A AND B) = 1/6, P(B) = 3/6, dan (1/6) ÷ (3/6) = 1/3. Tanpa syarat, P(A) juga 2/6 = 1/3. Kebetulan ini perlu diperhatikan: di sini mengetahui B tidak mengubah peluang A.

Satu tabel, tiga jawaban tentang kekidalan

Peluang bersyarat paling mudah dilihat dalam tabel dua arah. Tabel 3.1 OpenStax mengelompokkan sampel acak 100 orang menurut jenis kelamin saat lahir dan tangan dominan. Secara keseluruhan, 13 dari 100 kidal, sehingga P(L) = 0.13. Dari 52 laki-laki, 9 kidal, sehingga P(L | M) = 9/52, sekitar 0.173. Dari 48 perempuan, 4 kidal, sehingga P(L | F) = 4/48, sekitar 0.083. Membalik syarat memberi nilai berbeda: dari 13 orang kidal, 4 perempuan, sehingga P(F | L) = 4/13, sekitar 0.308. P(A | B) dan P(B | A) jarang sama, dan menukarnya mengulang kesalahan tentang cuaca di awal pelajaran.

Dalam sampel ini, tangan dominan dan jenis kelamin tidak saling bebas

Kejadian A dan B saling bebas jika P(A | B) = P(A): mengetahui B terjadi tidak memberi informasi baru tentang A. Dalam sampel tangan dominan, P(L | M) = 0.173 tidak sama dengan P(L) = 0.13, sehingga pada 100 orang ini, tangan dominan dan jenis kelamin tidak saling bebas. Lemparan koin adalah contoh klasik kejadian saling bebas. Apa pun hasil pertama, peluang sisi kepala pada lemparan kedua tetap 1/2. Ketergantungan muncul jika hasil pertama mengubah yang tersisa. Ambil dua kartu tanpa pengembalian: P(kartu pertama as) = 4/52, dan dengan syarat itu, tersisa 3 as dari 51 kartu, sehingga P(kartu kedua as | kartu pertama as) = 3/51. Peluang dua as adalah 4/52 × 3/51 = 1/221, sekitar 0.0045.

Dalam 100 lemparan adil, deret enam atau lebih hasil sama lazim terjadi

Kejadian saling bebas juga menjelaskan mengapa rentetan panjang bukan pertanda ada yang salah. Dalam 100 lemparan koin adil, deret terpanjang dengan sisi sama mencapai 6 atau lebih sekitar 81% percobaan, dan 8 atau lebih sekitar 31%; rata-rata deret terpanjang sekitar 7. Orang yang diminta menulis urutan "acak" biasanya menghindari deret lebih dari tiga atau empat, sehingga guru dapat mengenali tugas lemparan koin yang dibuat-buat.