Probabilità condizionata e indipendenza

In un campione OpenStax di 100 persone, 13 sono mancine, ma tra le 48 donne lo sono solo 4, circa 0.083.

Quasi tutti i giorni piovosi sono nuvolosi. Quasi tutti i giorni nuvolosi sono piovosi?

Considera un mese inventato di 30 giorni. È piovuto in 5 giorni, di cui 4 nuvolosi. I giorni nuvolosi erano 12 in totale. Quindi la maggior parte dei giorni piovosi era nuvolosa, 4 su 5. Viene da invertire la frase e dire che la maggior parte dei giorni nuvolosi fosse piovosa. Non è così: solo 4 dei 12, un terzo. Le domande mettono gli stessi 4 giorni al numeratore ma dividono per gruppi diversi. Scegliere il gruppo è il cuore della probabilità condizionata.

Nuove informazioni cambiano le probabilità. Sapendo che una carta è una figura, la probabilità che sia un re sale da 4/52 a 4/12. La probabilità di A sapendo che B è accaduto si scrive P(A | B) e si legge «A dato B». La condizione restringe lo spazio campionario: conti solo tra gli esiti di B, non tra tutti. La formula è P(A | B) = P(A E B) ÷ P(B), purché P(B) non sia zero.

OpenStax propone un dado. A = esce 2 o 3 e B = esce pari. Dato B, le facce possibili sono solo 2, 4 e 6; soltanto 2 appartiene ad A. Quindi P(A | B) = 1/3. La formula conferma: P(A E B) = 1/6, P(B) = 3/6 e (1/6) ÷ (3/6) = 1/3. Senza condizione anche P(A) = 2/6 = 1/3: una coincidenza da notare, perché sapere B qui non cambia la probabilità di A.

Una tabella, tre probabilità di essere mancini

Le probabilità condizionate si vedono bene in una tabella a doppia entrata. La tabella 3.1 di OpenStax classifica un campione casuale di 100 persone per sesso assegnato alla nascita e mano dominante. In tutto, 13 su 100 sono mancine: P(L) = 0.13. Tra i 52 maschi, 9 sono mancini: P(L | M) = 9/52, circa 0.173. Tra le 48 femmine lo sono 4: P(L | F) = 4/48, circa 0.083. Invertire la condizione dà un altro numero: delle 13 persone mancine, 4 sono femmine, quindi P(F | L) = 4/13, circa 0.308. P(A | B) e P(B | A) sono raramente uguali: scambiarle è l'errore sul meteo all'inizio della lezione.

In questo campione, mano dominante e sesso non sono indipendenti

A e B sono indipendenti quando P(A | B) = P(A): sapere che B è accaduto non aggiunge informazioni su A. Nel campione, P(L | M) = 0.173 è diverso da P(L) = 0.13: per queste 100 persone mano dominante e sesso non sono indipendenti. I lanci di moneta sono il classico esempio indipendente: qualunque sia il primo, il secondo dà testa con probabilità 1/2. La dipendenza compare quando il primo risultato cambia ciò che resta. Estrai due carte senza reinserimento: P(prima carta asso) = 4/52; dato questo, restano 3 assi su 51 carte, quindi P(seconda asso | prima asso) = 3/51. La probabilità di due assi è 4/52 × 3/51 = 1/221, circa 0.0045.

In 100 lanci equilibrati, una serie di almeno sei è normale

L'indipendenza spiega anche perché le serie lunghe non segnalano necessariamente un problema. In 100 lanci equilibrati, la serie più lunga dello stesso lato è almeno 6 circa nell'81% dei casi e almeno 8 circa nel 31%; la lunghezza massima media è circa 7. Chi deve inventare una sequenza «casuale» evita di solito serie oltre tre o quattro: gli insegnanti possono così riconoscere compiti con lanci inventati.