La legge dei grandi numeri

John Kerrich lanciò una moneta 10 000 volte durante la Seconda guerra mondiale, ottenendo 5067 teste: proporzione 0.5067.

Dopo cinque teste consecutive, deve uscire croce?

Cinque teste di fila. La prossima dovrà essere croce, no? È una tentazione con un nome: fallacia del giocatore. Assomiglia molto alla legge dei grandi numeri, e qui nasce il problema. La legge esiste davvero, ma non dice nulla sul prossimo lancio e non agisce compensando gli esiti passati. Cominciamo da ciò che afferma davvero.

Se una moneta ha probabilità 1/2 di dare testa, perché escono spesso tre o quattro teste consecutive? Perché la probabilità non descrive pochi lanci, ma molte ripetizioni. La frazione di prove in cui accade un evento è la frequenza relativa: conteggio ÷ numero di prove. La legge dei grandi numeri dice che, aumentando le prove, la frequenza relativa tende ad avvicinarsi alla probabilità teorica.

Kerrich aveva 67 teste in più, ma uno scarto di appena 0.0067

La proporzione di Kerrich era 5067 ÷ 10000 = 0.5067, distante solo 0.0067 da 0.5. Eppure aveva 67 teste in più delle 5000 «attese». È la parte che sorprende: continuando i lanci, la differenza tra teste e metà dei lanci non tende necessariamente a zero; oscilla e spesso cresce. A ridursi è la differenza divisa per il numero di lanci. La legge dei grandi numeri diluisce la fortuna iniziale in moltissimi lanci successivi, non la compensa.

Per questo la fallacia del giocatore è falsa. Dopo cinque teste consecutive, il prossimo lancio di una moneta equilibrata dà ancora testa con probabilità 1/2. La moneta non ha memoria e non deve una croce a nessuno. Nel lungo periodo, quella serie iniziale diventa una parte trascurabile di migliaia di lanci.

Cento lanci finiscono di solito tra 0.40 e 0.60

Una regola pratica indica quanto si discosta di solito una proporzione. Per n lanci con probabilità p, circa il 95% delle sequenze termina in p ± 2√(p(1 − p)/n). Per una moneta equilibrata e 100 lanci: 0.5 ± 2√(0.25/100) = 0.5 ± 0.1; da 0.40 a 0.60 è normale. Per 10000 lanci è 0.5 ± 0.01. Lo 0.5067 di Kerrich è ben dentro, circa 1.34 deviazioni standard sopra 0.5. Nota la radice: per una fascia dieci volte più stretta servono cento volte i lanci.

Lo stesso ragionamento permette di valutare l'euro belga di OpenStax. Con 250 lanci la fascia del 95% per una moneta equilibrata è 0.5 ± 2√(0.25/250) = 0.5 ± 0.063, circa da 0.437 a 0.563. Lo 0.56 osservato è interno, vicino al bordo. Per questo la conclusione corretta è «forse sbilanciata, servono altri lanci», non «certamente truccata».